Find the solution u(r, \theta) of Laplace’s equation in the circular sector 0<r<a, 0<\theta<\alpha, also satisfying the boundary conditions
\begin{gathered} u(r, 0)=0, \quad u(r, \alpha)=0, \quad 0 \leq r<a, \\\ u(a, \theta)=f(\theta), \quad 0 \leq \theta \leq \alpha . \end{gathered}
Assume that u is single-valued and bounded in the sector.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá, de forma muito clara e organizada.
  • Domínio: setor circular \{(r,\theta)\mid 0<r<a,\;0<\theta<\alpha\}.
  • Equação a satisfazer: a equação de Laplace em coordenadas polares, ou seja \Delta u=0 no setor.
  • Condições de contorno: u(r,0)=0,\qquad u(r,\alpha)=0\quad\text{para }0\le r<a,
u(a,\theta)=f(\theta)\quad\text{para }0\le\theta\le\alpha.
  • Condições adicionais: u é single-valued (única para cada ponto do setor) e limitada (bounded) no setor, em particular no vértice r=0.
O objetivo: encontrar explicitamente u(r,\theta) que resolve \Delta u=0 no setor e satisfaz as três condições de contorno acima.

Passo 2

Escrever a equação de Laplace em coordenadas polares e tentar separar variáveis.
A fórmula da laplaciana em coordenadas polares é
\Delta u = u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}.
A equação de Laplace fica então
u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
A ideia padrão é procurar soluções por separação de variáveis do tipo
u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta),
onde R depende só de r e \Theta só de \theta. Vou explicar passo a passo como isso funciona.

Passo 3

Substituir u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) na equação e separar as variáveis.
Substituindo na laplaciana:
R''(r)\Theta(\theta)+\frac{1}{r}R'(r)\Theta(\theta)+\frac{1}{r^2}R(r)\Theta''(\theta)=0.
Dividindo por R(r)\Theta(\theta) e multiplicando por r^2 obtemos
r^2\frac{R''(r)}{R(r)}+r\frac{R'(r)}{R(r)}+\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0.
Agora a parte que depende só de r mais a parte que depende só de \theta somam zero para todo r,\theta; isso só é possível se cada parte for igual a uma constante oposta. Chamamos essa constante de -\lambda^2. Assim obtemos o sistema de ODEs:
\Theta''(\theta)+\lambda^2\Theta(\theta)=0,
r^2R''(r)+rR'(r)-\lambda^2 r^2 R(r)=0.
Explico: \lambda^2 é tomado não negativo porque isso dá soluções trigonométricas na equação angular, que combinam com as condições de Dirichlet em \theta.

Passo 4

Resolver a equação angular com as condições em \theta.
A equação é
\Theta''(\theta)+\lambda^2\Theta(\theta)=0,
com as condições de contorno lineares
\Theta(0)=0,\qquad \Theta(\alpha)=0,
porque u(r,0)=R(r)\Theta(0)=0 e u(r,\alpha)=R(r)\Theta(\alpha)=0 para r>0, e queremos \Theta não triviais.
As soluções não-triviais para \Theta ocorrem quando \lambda satisfaz
\sin(\lambda\alpha)=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_n=\frac{n\pi}{\alpha},\qquad n=1,2,3,\dots
( n=0 \Theta\equiv 0, solução trivial). Para cada n a função angular associada é (a constante multiplicativa pode ser absorvida no coeficiente radial)
\Theta_n(\theta)=\sin\!\bigl(\lambda_n \theta\bigr)=\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\Bigr).
Observação sobre ortogonalidade: as funções \sin(\lambda_n\theta) são mutuamente ortogonais em 0\le\theta\le\alpha:
\int_0^\alpha \sin\!\bigl(\lambda_n\theta\bigr)\sin\!\bigl(\lambda_m\theta\bigr)\,d\theta = \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{\alpha}{2},& n=m. \end{cases}
Usaremos essa propriedade para obter os coeficientes.]

Passo 5

Resolver a equação radial para cada autovalor \lambda_n.
A equação radial é
r^2R''(r)+rR'(r)-\lambda_n^2 r^2 R(r)=0.
Esta é uma equação de Euler-Bessel simples; procuramos soluções do tipo R(r)=r^s. Substituindo:
s(s-1)r^s + s r^s - \lambda_n^2 r^s =0 \quad\Longrightarrow\quad s^2-\lambda_n^2=0.
Assim s=\pm\lambda_n, logo a solução geral radial é
R_n(r)=C_n r^{\lambda_n}+D_n r^{-\lambda_n}.
Mas temos a condição adicional de que u seja limitada (bounded) no setor, em particular quando r\to0. Para \lambda_n>0 o termo r^{-\lambda_n} diverge em r=0, então devemos escolher D_n=0 para termos uma solução limitada. Portanto
R_n(r)=C_n r^{\lambda_n}.

Passo 6

Construir a solução geral como soma das modos admissíveis.
Somando todos os modos n=1,2,\dots, a solução mais geral limitada e que satisfaz u(r,0)=u(r,\alpha)=0 é
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty A_n r^{\lambda_n}\sin\!\bigl(\lambda_n\theta\bigr),
onde \lambda_n=\dfrac{n\pi}{\alpha} e os A_n são constantes a determinar a partir da condição sobre r=a.

Passo 7

Impor a condição de contorno u(a,\theta)=f(\theta) e obter os coeficientes por expansão em série de senos.
Para r=a temos
f(\theta)=u(a,\theta)=\sum_{n=1}^\infty A_n a^{\lambda_n}\sin\!\bigl(\lambda_n\theta\bigr).
Isso é exatamente a expansão de f em série de senos no intervalo [0,\alpha]. Usando a ortogonalidade das funções \sin(\lambda_n\theta) obtemos os coeficientes:
A_n a^{\lambda_n} = \frac{2}{\alpha}\int_0^\alpha f(\varphi)\sin\!\bigl(\lambda_n\varphi\bigr)\,d\varphi,
logo
A_n = \frac{2}{\alpha a^{\lambda_n}}\int_0^\alpha f(\varphi)\sin\!\bigl(\lambda_n\varphi\bigr)\,d\varphi.
Observe que escrevi a variável de integração como \varphi para não confundir com o limite de integração.

Passo 8

Escrever a solução final e comentar rapidamente sobre convergência e unicidade.
Substituindo A_n na série obtemos a solução desejada:
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{2}{\alpha a^{\lambda_n}}\int_0^\alpha f(\varphi)\sin\!\bigl(\lambda_n\varphi\bigr)\,d\varphi\right] r^{\lambda_n}\sin\!\bigl(\lambda_n\theta\bigr),
com \lambda_n=\dfrac{n\pi}{\alpha}.
Comentários curtos (úteis para a prova): a série converge sob hipóteses razoáveis em f (por exemplo f\in L^2(0,\alpha) ou f contínua), e a solução é única por princípios clássicos (princípio do máximo para a equação de Laplace). A condição de boundedness em r=0 foi essencial para descartar os modos r^{-\lambda_n}.

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{2}{\alpha a^{\,n\pi/\alpha}}\int_0^\alpha f(\varphi)\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{\alpha}\varphi\Bigr)\,d\varphi\right] r^{\,n\pi/\alpha}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\Bigr).

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