Find the solution
of Laplace’s equation in the circular sector
, also satisfying the boundary conditions
Assume that
is single-valued and bounded in the sector.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá, de forma muito clara e organizada.
- Domínio: setor circular
. - Equação a satisfazer: a equação de Laplace em coordenadas polares, ou seja
no setor. - Condições de contorno:
- Condições adicionais:
é single-valued (única para cada ponto do setor) e limitada (bounded) no setor, em particular no vértice .
O objetivo: encontrar explicitamente
que resolve
no setor e satisfaz as três condições de contorno acima.
Passo 2
Escrever a equação de Laplace em coordenadas polares e tentar separar variáveis.
A fórmula da laplaciana em coordenadas polares é
A equação de Laplace fica então
A ideia padrão é procurar soluções por separação de variáveis do tipo
onde
depende só de
e
só de
. Vou explicar passo a passo como isso funciona.
Passo 3
Substituir
na equação e separar as variáveis.
Substituindo na laplaciana:
Dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Agora a parte que depende só de
mais a parte que depende só de
somam zero para todo
; isso só é possível se cada parte for igual a uma constante oposta. Chamamos essa constante de
. Assim obtemos o sistema de ODEs:
Explico:
é tomado não negativo porque isso dá soluções trigonométricas na equação angular, que combinam com as condições de Dirichlet em
.
Passo 4
Resolver a equação angular com as condições em
.
A equação é
com as condições de contorno lineares
porque
e
para
, e queremos
não triviais.
As soluções não-triviais para
ocorrem quando
satisfaz
(
dá
, solução trivial). Para cada
a função angular associada é (a constante multiplicativa pode ser absorvida no coeficiente radial)
Observação sobre ortogonalidade: as funções
são mutuamente ortogonais em
:
Usaremos essa propriedade para obter os coeficientes.]
Passo 5
Resolver a equação radial para cada autovalor
.
A equação radial é
Esta é uma equação de Euler-Bessel simples; procuramos soluções do tipo
. Substituindo:
Assim
, logo a solução geral radial é
Mas temos a condição adicional de que
seja limitada (bounded) no setor, em particular quando
. Para
o termo
diverge em
, então devemos escolher
para termos uma solução limitada. Portanto
Passo 6
Construir a solução geral como soma das modos admissíveis.
Somando todos os modos
, a solução mais geral limitada e que satisfaz
é
onde
e os
são constantes a determinar a partir da condição sobre
.
Passo 7
Impor a condição de contorno
e obter os coeficientes por expansão em série de senos.
Para
temos
Isso é exatamente a expansão de
em série de senos no intervalo
. Usando a ortogonalidade das funções
obtemos os coeficientes:
logo
Observe que escrevi a variável de integração como
para não confundir com o limite de integração.
Passo 8
Escrever a solução final e comentar rapidamente sobre convergência e unicidade.
Substituindo
na série obtemos a solução desejada:
com
.
Comentários curtos (úteis para a prova): a série converge sob hipóteses razoáveis em
(por exemplo
ou
contínua), e a solução é única por princípios clássicos (princípio do máximo para a equação de Laplace). A condição de boundedness em
foi essencial para descartar os modos
.