Find the unit tangent and unit normal vectors T(t) and N(t).
Use Formula 9 to find the curvature.
22. r(t)=lang<= t, t, 12 t^2rang<=

Passo 1

O enunciado dá r(t)=lang<= t,t,tfrac12t^2rang<= e pede:
– o vetor unitário tangente T(t),
– o vetor unitário normal N(t),
– a curvatura kappa(t) usando a Fórmula 9, que é
kappa(t)=|T'(t)||r'(t)|

Passo 2

Calcular r'(t) e sua norma:
r'(t)=llang<=1,1,trrang<=, |r'(t)|=raiz1+1+t^2=raizt^2+2

Passo 3

O vetor unitário tangente é
T(t) =r'(t)|r'(t)| =lang<=1,1,trang<=raizt^2+2

Passo 4

Derivamos T(t) e calculamos sua norma:
T'(t) =ddtl[(t^2+2)^-tfrac12lang<=1,1,trang<=r] =lang<= -t,,-t,,2rang<=(t^2+2)^3/2,
|T'(t)| =raiz(-t)^2+(-t)^2+2^2(t^2+2)^3/2 =raiz2t^2+4(t^2+2)^3/2 =raiz2t^2+2

Passo 5

O vetor unitário normal é
N(t) =T'(t)|T'(t)| =lang<= -t,,-t,,2rang<=/(t^2+2)^3/2 raiz2/(t^2+2) =lang<= -t,,-t,,2rang<=raiz2,raizt^2+2

Passo 6

Usando a Fórmula 9 para a curvatura:
kappa(t) =|T'(t)||r'(t)| = raiz2t^2+2 raizt^2+2 =raiz2(t^2+2)^3/2

Resposta

T(t)=lang<=1,1,trang<=raizt^2+2, N(t)=lang<= -t,,-t,,2rang<=raiz2,raizt^2+2, kappa(t)=raiz2(t^2+2)^3/2

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