Questão 03
Determine a solução geral da equação diferencial de Bernoulli:
x d yd x-y=x^3 y^2 ln (x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
x dydx - y = x^3y^2ln(x)
Este é um caso de equação de Bernoulli do tipo
dydx + p(x),y = q(x),y^n
com n=2. Vamos usar a substituição padrão z = y^1-n para transformá-la numa equação linear em z.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x:
dydx - 1x,y = x^2ln(x),y^2
Logo
p(x) = -1x, q(x)=x^2ln(x), n=2

Passo 3

Fazemos a substituição de Bernoulli:
z = y^1-2 = y^-1
Então
dzdx = -y^-2,dydx
Substituindo dydx = x^2ln(x),y^2 + tfrac1xy na expressão de dzdx obtemos
dzdx = -,x^2ln(x);-;1x,z,
ou seja,
dzdx + 1x,z = -,x^2ln(x)

Passo 4

Essa é uma equação linear em z. O fator integrante é
mu(x)=expl(integral tfrac1x,dxr)=x
Multiplicando por mu(x) temos
xdzdx + z = -,x^3ln(x),
que reconhecemos como
ddxl(xzr) = -,x^3ln(x)
Agora integramos:
x,z = integral -,x^3ln(x),dx + C
Usando integração por partes com u=ln(x), dv=-x^3dx, resulta
integral -x^3ln(x),dx = -x^44ln(x) + x^416
Portanto
x,z = -x^44ln(x) + x^416 + C

Passo 5

Voltando a y, lembrando z=1/y, temos
1y = -x^34ln(x) + x^316 + Cx
Logo
y = 1 -x^34ln(x) + x^316 + Cx

Passo 6

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por x:
y = xC + x^416 - x^44ln(x)

Resposta

A solução geral é
y(x) = 1-tfracx^34ln(x) + tfracx^316 + tfracCx,
ou, de forma equivalente,
y(x) = xC + tfracx^416 - tfracx^44ln(x),
onde C é a constante de integração.

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