Questão 03
Determine a solução geral da equação diferencial de Bernoulli:
Determine a solução geral da equação diferencial de Bernoulli:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
Este é um caso de equação de Bernoulli do tipo
com
. Vamos usar a substituição padrão
para transformá-la numa equação linear em
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
:
Logo
Passo 3
Fazemos a substituição de Bernoulli:
Então
Substituindo
na expressão de
obtemos
ou seja,
Passo 4
Essa é uma equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicando por
temos
que reconhecemos como
Agora integramos:
Usando integração por partes com
,
, resulta
Portanto
Passo 5
Voltando a
, lembrando
, temos
Logo
Passo 6
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral é
ou, de forma equivalente,
onde
é a constante de integração.