Questão 04 (coeficientes indeterminados)
Resolva a seguinte equação diferencial:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=(x^2+1) e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = (x^2 + 1)e^-2x
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 ;Longrightarrow;(r+2)^2 = 0,
com raiz dupla r = -2. Logo
yh(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x

Passo 3

Para a solução particular note que o termo de força é (x^2+1)e^-2x e -2 é raiz dupla, então tentamos
yp(x) = e^-2x,Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau 2 + 2 = 4. Assim
Q(x) = A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E

Passo 4

Usando a fórmula de derivação de e^-2xQ(x) verifica-se que
yp'' + 4yp' + 4yp = e^-2x,Q''(x)
Para que isso seja igual a (x^2+1)e^-2x precisamos de
Q''(x) = x^2 + 1

Passo 5

Integramos duas vezes:
Q'(x) = integral (x^2+1),dx = tfracx^33 + x + K1,
Q(x) = integrall(tfracx^33 + x + K1r)dx = tfracx^412 + tfracx^22 + K1 x + K2
Os termos K1 x + K2 geram exatamente as partes da solução homogênea, então escolhemos K1=K2=0 para obter um particular. Assim
Q(x) = tfracx^412 + tfracx^22,
e
yp(x) = e^-2xl(tfracx^412 + tfracx^22r)

Passo 6

A solução geral é soma da homogênea com o particular:
y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x + e^-2xl(tfracx^412 + tfracx^22r)

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1 + C2 x + tfracx^412 + tfracx^22r)

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