Questão 04 (coeficientes indeterminados)
Resolva a seguinte equação diferencial:
Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
com raiz dupla
. Logo
Passo 3
Para a solução particular note que o termo de força é
e
é raiz dupla, então tentamos
onde
é um polinômio de grau
. Assim
Passo 4
Usando a fórmula de derivação de
verifica-se que
Para que isso seja igual a
precisamos de
Passo 5
Integramos duas vezes:
Os termos
geram exatamente as partes da solução homogênea, então escolhemos
para obter um particular. Assim
e
Passo 6
A solução geral é soma da homogênea com o particular: