Nos problemas 31-36, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. Não resolva.
x^prime prime-x^prime-2 x=e^t cos t-t^2+cos ^3 t

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' - x' - 2x = e^tcos t ;-; t^2 ;+; cos^3 t
O conteúdo aplicado é o método dos coeficientes a determinar: identificamos cada termo no lado direito e propomos um ansatz adequado, sem resolver as constantes.

Passo 2

Encontramos primeiro as raízes da equação característica associada à parte homogênea:
r^2 - r - 2 = 0
Temos r=2 e r=-1. Como nenhuma dessas raízes coincide com os expoentes ou frequências presentes nos termos-forcing, não haverá fator adicional t^m por ressonância.

Passo 3

Para o termo e^tcos t, usamos o ansatz
yp1 = e^tl(Acos t + Bsin tr),
com A,B constantes a determinar.

Passo 4

Para o polinômio -,t^2, usamos o ansatz
yp2 = C,t^2 + D,t + E,
com C,D,E constantes a determinar.

Passo 5

Para cos^3 t aplicamos a identidade
cos^3 t = tfrac34,cos t + tfrac14,cos 3t
e, então, propomos o ansatz
yp3 = Fcos t + Gsin t + Hcos 3t + Isin 3t,
com F,G,H,I constantes.

Passo 6

Somando os três ansatz obtém-se a forma geral da solução particular:
xp = e^tl(Acos t + Bsin tr) ;+; l(C,t^2 + D,t + Er) ;+; l(Fcos t + Gsin t + Hcos 3t + Isin 3tr)

Resposta

xp = e^t(Acos t + Bsin t) + C,t^2 + D,t + E + Fcos t + Gsin t + Hcos 3t + Isin 3t,
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I são constantes a determinar.

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