Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de “coeficientes a determinar” para a solução particular)
y^prime prime-2 y^prime-8 y=e^x-8 cos (2 x)

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 2y' - 8y = e^x - 8cos(2x)
Vamos usar que a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea e yp é uma solução particular obtida pelo método de coeficientes a determinar.\n

Passo 2

Para achar yh, resolvemos a equação característica
r^2 - 2r - 8 = 0
As raízes são
r = 4, r = -2
Logo
yh(x) = C1e^4x + C2e^-2x \n

Passo 3

Para o termo e^x no segundo membro, propomos
yp1(x) = A e^x
Calculamos
y'p1 = A e^x, y''p1 = A e^x,
e substituímos em y'' - 2y' - 8y:
A e^x - 2A e^x - 8A e^x = -9A e^x stackrel!= e^x
Daí -9A = 1, logo
A = -19 \n

Passo 4

Para o termo -8cos(2x), propomos
yp2(x) = Bcos(2x) + Dsin(2x)
Derivando e substituindo, obtemos o sistema
-12B - 4D = -8,
4B - 12D = 0
Da segunda equação vem B = 3D. Substituindo na primeira:
-12(3D) - 4D = -8 implies -40D = -8 implies D = 15, B = 35 \n

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = -tfrac19e^x + tfrac35cos(2x) + tfrac15sin(2x)
Portanto a solução geral é
y(x) = C1e^4x + C2e^-2x - 19e^x + 35cos(2x) + 15sin(2x) \n

Resposta

y(x) = C1e^4x + C2e^-2x - 19e^x + 35cos(2x) + 15sin(2x)

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