Seja a transformação definida por , para , onde .
(a) Mostre que T é linear.
(b) Determine o Núcleo de T e a dimensão da Imagem de T.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2(R) to M2(R), T(V)=A,V,
onde
A=2 & 3-1 & 2
Precisamos (a) mostrar que T é linear e (b) determinar ker(T) e dim(ImT). Para isso usaremos a teoria de espaços vetoriais e propriedades de multiplicação de matrizes.
Passo 2
Para provar que T é linear, tomemos V,Win M2(R) e lambdainR. Então
T(V+W)=A,(V+W)=A,V + A,W = T(V)+T(W),
e
T(lambda V)=A,(lambda V)=lambda,(A,V)=lambda,T(V)
Isso mostra que T preserva soma e escalares, logo T é linear.
Passo 3
Para encontrar ker(T), resolvemos
T(V)=0 Long<=ftrightarrow A,V=02times2
Isto equivale a dizer que cada coluna de V está no núcleo de A visto como transformação de R^2 em si. Calculamos
det(A)=2cdot2 - 3cdot(-1)=4+3=7neq0,
portanto A é invertível e seu núcleo é trivial: só o vetor zero. Assim cada coluna de V deve ser zero, ou seja, V=02times2. Concluímos
ker(T)=02times2
Passo 4
Usando o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) num espaço de dimensão dim M2(R)=4, temos
dim(ker T)+dim(ImT)=4
Como dim(ker T)=0, segue
dim(ImT)=4
Alternativamente, como A é invertível, T é sobrejetora e ImT=M2(R).
Resposta
(a) T é linear pois satisfaz T(V+W)=T(V)+T(W) e T(lambda V)=lambda T(V).
(b) ker(T)=02times2 e dim(ImT)=4.