Find the vertex, focus, and directrix of the parabola and sketch its graph.
3. 4 x^2=-y

Passo 1

O enunciado dá a parábola
4x^2=-y
e pede vértice, foco, diretriz e esboço do gráfico. Isso envolve o conteúdo de parábolas no plano cartesiano, em particular a forma canônica
(x-h)^2=4p,(y-k),
onde (h,k) é o vértice, o foco é (h,,k+p) e a diretriz é y=k-p.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma canônica comparável a (x-0)^2=4p,(y-0). A partir de
4x^2=-y
temos
x^2=-tfrac14,y
ou seja
x^2=4p,y Longrightarrow 4p=-tfrac14
Como não há translação, o vértice fica em (h,k)=(0,0).

Passo 3

Da igualdade 4p=-tfrac14 obtemos
p=-tfrac116
Esse sinal negativo indica que a parábola abre para baixo, a uma distância |p|=116 do vértice.

Passo 4

Usando as fórmulas padrão:
– Foco: (h,,k+p)=(0,,0-tfrac116)=(0,,-tfrac116).
– Diretriz: y=k-p=0-(-tfrac116)=+tfrac116

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (0,0).
  3. Trace a reta diretriz horizontal y=tfrac116 acima do vértice.
  4. Marque o foco em (0,-tfrac116) abaixo do vértice.
  5. Faça uma curva simétrica em torno do eixo x=0 que abre para baixo, passando pelo vértice e “apontando” para o foco.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: l(0,,-tfrac116r)
Diretriz: y=tfrac116
Gráfico: parábola de concavidade para baixo, eixo de simetria x=0, vértice em (0,0).

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