(2.0) Verifique se a função f(x, y)=(x^2+y^2) sin (1raizx^2+y^2) possui um limite quando (x, y) (0,0).

Passo 1

O enunciado nos pede o limite da função
f(x,y) = l(x^2+y^2r),sin!l(tfrac1raizx^2+y^2r)
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e usaremos o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Para facilitar, vamos passar a coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
r = raizx^2+y^2, theta = arctanl(y/xr)
Então
f(x,y) = r^2,sin!l(tfrac1rr)

Passo 3

Como para todo argumento vale l|sin(cdot)r|<=1, temos
l|f(x,y)r| = l|r^2,sin!l(tfrac1rr)r| <= r^2
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue que r^2to0. Pelo Teorema do Confronto, f(x,y)to0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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