Verifique se as funções são linearmente independentes:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
e
são linearmente independentes no espaço das funções reais de
. O conteúdo envolvido é o teste de combinação linear: mostrar que a única solução da equação
é
.
Passo 2
Suponha que existam constantes
e
tais que
para todo
. Avaliando essa igualdade em
e depois diferenciando-a em relação a
e avaliando novamente em
, obtemos o sistema
Passo 3
Como
, da segunda equação segue
. Juntando com
vem
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que cancele ambas as funções, logo elas são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes sempre que
. Caso
, ambas se reduzem a
e tornam-se linearmente dependentes.