Verifique se as funções são linearmente independentes:
e^a x; e^-a x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções ,e^a x e ,e^-a x são linearmente independentes no espaço das funções reais de x. O conteúdo envolvido é o teste de combinação linear: mostrar que a única solução da equação
alpha,e^a x ;+;beta,e^-a x;=;0para todo x
é alpha=beta=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes alpha e beta tais que
alpha,e^a x + beta,e^-a x = 0
para todo x. Avaliando essa igualdade em x=0 e depois diferenciando-a em relação a x e avaliando novamente em x=0, obtemos o sistema
alpha + beta = 0, alpha,a ;-;beta,a = 0

Passo 3

Como aneq 0, da segunda equação segue alpha=beta. Juntando com alpha+beta=0 vem
alpha=beta=0
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que cancele ambas as funções, logo elas são linearmente independentes.

Resposta

As funções ,e^a x e ,e^-a x são linearmente independentes sempre que aneq 0. Caso a=0, ambas se reduzem a e^0cdot x=1 e tornam-se linearmente dependentes.

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