Obter uma expressão da soma da série abaixo e os respectivos raios de convergência, usando derivação e integração termo a termo, se necessário.
x+2^3 x^2+3^3 x^3+4^3 x^4+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim: x + 2^3x^2 + 3^3x^3 + 4^3x^4 + ldots. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para essa soma e descobrir para quais valores de x essa soma converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, diferenciação e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os primeiros termos, percebemos que o n-ésimo termo é n^3x^n. Então, a série pode ser escrita como:
S(x) = sumn=1^infty n^3x^n
Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para S(x).

Passo 3

Para encontrar S(x), vamos usar a série geométrica básica:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x| < 1
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos:
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, temos:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2
Vamos chamar essa série de S1(x):
S1(x) = x(1 - x)^2

Passo 4

Agora, para obter os termos com n^3, precisamos diferenciar S1(x) duas vezes. Primeiro, diferenciamos S1(x):
ddxS1(x) = ddx(x(1 - x)^2) = 1 + x(1 - x)^3
Essa derivada corresponde à série:
sumn=1^infty n^2x^n-1 = 1 + x(1 - x)^3
Multiplicando por x, temos:
sumn=1^infty n^2x^n = x(1 + x)(1 - x)^3 = S2(x)

Passo 5

Agora, vamos diferenciar S2(x) para chegar a n^3x^n:
ddxS2(x) = ddx(x(1 + x)(1 - x)^3) = 1 + 4x + x^2(1 - x)^4
Essa derivada representa:
sumn=1^infty n^3x^n-1 = 1 + 4x + x^2(1 - x)^4
Multiplicando por x, obtemos a série que queremos:
S(x) = sumn=1^infty n^3x^n = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4

Passo 6

Agora que temos a expressão para a soma da série, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica sum x^n converge quando |x| < 1. Como derivações e integrações termo a termo não mudam o raio de convergência, o raio para a nossa série S(x) também é 1.

Resposta

A soma da série é:
S(x) = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4
E o raio de convergência é 1, ou seja, a série converge para |x| < 1.

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