Obter uma expressão da soma da série abaixo e os respectivos raios de convergência, usando derivação e integração termo a termo, se necessário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim:
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para essa soma e descobrir para quais valores de
essa soma converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, diferenciação e integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os primeiros termos, percebemos que o
-ésimo termo é
. Então, a série pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar a série geométrica básica:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos chamar essa série de
:
Passo 4
Agora, para obter os termos com
, precisamos diferenciar
duas vezes. Primeiro, diferenciamos
:
Essa derivada corresponde à série:
Multiplicando por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar
para chegar a
:
Essa derivada representa:
Multiplicando por
, obtemos a série que queremos:
Passo 6
Agora que temos a expressão para a soma da série, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica
converge quando
. Como derivações e integrações termo a termo não mudam o raio de convergência, o raio para a nossa série
também é
.
Resposta
A soma da série é:
E o raio de convergência é
, ou seja, a série converge para
.