Find the volume of the given solid.
Under the plane x+2 y-z=0 and above the region bounded by y=x and y=x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que está sob o plano $ x + 2y - z = 0 $ e acima da região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^4 $.
Aqui, vamos usar cálculo de integrais duplas para encontrar esse volume. Precisamos entender bem a área sobre a qual vamos integrar e a função que representa o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
  • $ y = x $
  • $ y = x^4 $
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
y = x
y = x^4
x = x^4
x^4 - x = 0
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos que $ x $ varia de 0 a 1, precisamos determinar como $ y $ varia para cada $ x $ nesse intervalo.
Para cada valor de $ x $ entre 0 e 1:
  • A curva de baixo é $ y = x^4 $
  • A curva de cima é $ y = x $
Então, $ y $ varia de $ x^4 $ até $ x $.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
V
No nosso caso:
  • $ a = 0 $, $ b = 1 $
  • $ c(x) = x^4 $, $ d(x) = x $
  • $ f(x, y) $ é a função que representa o plano. A equação do plano é $ x + 2y - z = 0 $, então $ z = x + 2y $.
Portanto, a integral fica:
V = integrala^b integralc(x)^d(x) f(x, y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
integralx^4^x (x + 2y) , dy
integral (x) , dy = x y
Então, a integral interna se torna:
integral (2y) , dy = y^2
Substituindo os limites:
x y + y^2 |y = x^4^y = x

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a $ x $:
x
Integrando termo a termo:
V = integral0^1 (2x^2 - x^5 - x^8) , dx
integral 2x^2 , dx = 23x^3
integral -x^5 , dx = -16x^6
Então, a integral fica:
integral -x^8 , dx = -19x^9
Substituindo os limites:
23x^3 - 16x^6 - 19x^9 |0^1

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores:
23 - 16 - 19
Para facilitar, vamos ajustar os denominadores para 18:
1218 - 318 - 218 = 12 - 3 - 218 = 718

Resposta

O volume do sólido é $ \dfrac{7}{18} $ unidades cúbicas.

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