Find the volume of the given solid.
Under the plane
and above the region bounded by
and
Under the plane
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que está sob o plano $ x + 2y - z = 0 $ e acima da região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^4 $.
Aqui, vamos usar cálculo de integrais duplas para encontrar esse volume. Precisamos entender bem a área sobre a qual vamos integrar e a função que representa o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
- $ y = x $
- $ y = x^4 $
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos que $ x $ varia de 0 a 1, precisamos determinar como $ y $ varia para cada $ x $ nesse intervalo.
Para cada valor de $ x $ entre 0 e 1:
- A curva de baixo é $ y = x^4 $
- A curva de cima é $ y = x $
Então, $ y $ varia de $ x^4 $ até $ x $.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
No nosso caso:
- $ a = 0 $, $ b = 1 $
- $ c(x) = x^4 $, $ d(x) = x $
- $ f(x, y) $ é a função que representa o plano. A equação do plano é $ x + 2y - z = 0 $, então $ z = x + 2y $.
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna se torna:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores:
Para facilitar, vamos ajustar os denominadores para 18:
Resposta
O volume do sólido é $ \dfrac{7}{18} $ unidades cúbicas.