Find the volume of the solid in the first octant bounded by the cylinder
and the plane
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido no primeiro octante, limitado pela superfície cilíndrica
, pelo plano
e pelos planos coordenados
,
,
. Para resolver, usaremos uma integral tripla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, identificamos os limites de cada variável. Como estamos no primeiro octante, temos
,
,
. Além disso, da condição
vem
. E o plano
nos dá
. Para
, fica
.
Passo 3
Montamos então o integral do volume:
Passo 4
Primeiro fazemos a integral em
:
Em seguida, integrando em
Passo 5
Finalmente, integramos em
:
Passo 6
Calculando essa integral: