Find the volume of the solid in the first octant bounded by the cylinder z=16-x^2 and the plane y=5.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido no primeiro octante, limitado pela superfície cilíndrica z=16 - x^2, pelo plano y=5 e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0. Para resolver, usaremos uma integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de cada variável. Como estamos no primeiro octante, temos x>=0, y>=0, z>=0. Além disso, da condição z=16 - x^2>=0 vem 0<= x<=4. E o plano y=5 nos dá 0<= y<=5. Para z, fica 0<= z<=16 - x^2.

Passo 3

Montamos então o integral do volume:
V = integralx=0^4 integraly=0^5 integralz=0^16 - x^2 dz,dy,dx

Passo 4

Primeiro fazemos a integral em z:
integralz=0^16 - x^2 dz = 16 - x^2
Em seguida, integrando em y:
integraly=0^5 (16 - x^2),dy = 5(16 - x^2)

Passo 5

Finalmente, integramos em x:
V = integral0^4 5(16 - x^2),dx = 5integral0^4 (16 - x^2),dx

Passo 6

Calculando essa integral:
5l[16x - x^33r]0^4 = 5l(64 - 643r) = 5cdot1283 = 6403

Resposta

6403

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