Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
Vamos resumir: a questão pede para provar que o campo vetorial
F(x,y,z) = (z e^{x} + e^{y}),\mathbf{i} + (x e^{y} - e^{z}),\mathbf{j} +(-y e{z}+e{x}),\mathbf{k}
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f = F. O conteúdo é teoria de campos vetoriais conservativos, critério do rotacional e integração para achar potencial.
F(x,y,z) = (z e^{x} + e^{y}),\mathbf{i} + (x e^{y} - e^{z}),\mathbf{j} +(-y e{z}+e{x}),\mathbf{k}
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f = F. O conteúdo é teoria de campos vetoriais conservativos, critério do rotacional e integração para achar potencial.
Passo 2
Em um domínio simplesmente conexo como \mathbb{R}^3, um campo F é conservativo se e somente se o rotacional dele for nulo: \nabla\times F = 0. Vamos calcular
Aqui P = z e^{x} + e^{y}, Q = x e^{y} - e^{z}, R = -y e{z}+e{x}. Calculando cada componente:
Passo 3
Como todas as componentes do rotacional são zero, \nabla\times F=0 e F é conservativo.
Passo 4
Como F é conservativo, existe f(x,y,z) tal que \nabla f = F. Para achar f, começamos integrando P em relação a x:
onde h(y,z) é uma função “constante” em relação a x.
Passo 5
Agora usamos a condição
. Calculamos
e igualamos a
. Isso dá
com k(z) função só de z.
Passo 6
Por fim, impomos
. Temos
deve ser igual a
. Logo
e k é constante. Isso mostra que uma função potencial é
Resposta
Uma função potencial é f(x,y,z)=z e^{x}+x e^{y}-y e^{z}+C, logo F é conservativo.