Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.

Passo 1

Vamos resumir: a questão pede para provar que o campo vetorial
F(x,y,z) = (z e^{x} + e^{y}),\mathbf{i} + (x e^{y} - e^{z}),\mathbf{j} +(-y e{z}+e{x}),\mathbf{k}
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f = F. O conteúdo é teoria de campos vetoriais conservativos, critério do rotacional e integração para achar potencial.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo como \mathbb{R}^3, um campo F é conservativo se e somente se o rotacional dele for nulo: \nabla\times F = 0. Vamos calcular
nablatimes F = l( partial Rpartial y - partial Qpartial z,; partial Ppartial z - partial Rpartial x,; partial Qpartial x - partial Ppartial y r)
Aqui P = z e^{x} + e^{y}, Q = x e^{y} - e^{z}, R = -y e{z}+e{x}. Calculando cada componente:

Passo 3

Ry = partial/partial y(-y e^z+e^x) = -e^z, Qz = partial/partial z(x e^y-e^z) = -e^z, então Ry - Qz = 0
Pz = partial/partial z(z e^x+e^y) = e^x, Rx = partial/partial x(-y e^z+e^x) = e^x, logo Pz - Rx = 0
Qx = partial/partial x(x e^y-e^z) = e^y, Py = partial/partial y(z e^x+e^y) = e^y, portanto Qx - Py = 0
Como todas as componentes do rotacional são zero, \nabla\times F=0 e F é conservativo.

Passo 4

Como F é conservativo, existe f(x,y,z) tal que \nabla f = F. Para achar f, começamos integrando P em relação a x:
f(x,y,z) = integral (z e^x + e^y),dx = z e^x + x e^y + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 5

Agora usamos a condição fy = Q. Calculamos
fy = partial/partial yl(z e^x + x e^y + h(y,z)r) = x e^y + hy(y,z)
e igualamos a Q = x e^y - e^z. Isso dá
hy(y,z) = -e^z implies h(y,z) = -y e^z + k(z),
com k(z) função só de z.

Passo 6

Por fim, impomos fz = R. Temos
fz = partial/partial zl(z e^x + x e^y - y e^z + k(z)r) = e^x -y e^z + k'(z)
deve ser igual a R = -y e^z + e^x. Logo k'(z)=0 e k é constante. Isso mostra que uma função potencial é
f(x,y,z) = z e^x + x e^y - y e^z + C

Resposta

Uma função potencial é f(x,y,z)=z e^{x}+x e^{y}-y e^{z}+C, logo F é conservativo.

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