Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial F(x,y,z)=yz,i+xz,j+xy,k é conservativo e encontrar uma função potencial associada. O conteúdo é Cálculo Vetorial – campos conservativos e funções potenciais –, e vamos precisar calcular o rotacional de F e em seguida integrar componentes para obter a potencial.

Passo 2

Para um campo ser conservativo em um domínio simplesmente conexo (como R^3), seu rotacional deve ser o vetor nulo. Vamos calcular
Expandindo, obtemos cada componente:
nablatimes F = i & j & k npartialpartial x & partialpartial y & partialpartial z nyz & xz & xy
(nablatimes F)x = partialpartial y(xy) - partialpartial z(xz) = x - x = 0,
(nablatimes F)y = partialpartial z(yz) - partialpartial x(xy) = y - y = 0,
Portanto (nablatimes F)z = partialpartial x(xz) - partialpartial y(yz) = z - z = 0 , ou seja, nablatimes F=0 é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial varphi(x,y,z) satisfazendo
nablavarphi = F,
começamos integrando a componente Fx=yz em relação a x:
varphi(x,y,z)=integral yz,dx = xyz + C(y,z),
onde C(y,z) é constante relativa à x.

Passo 4

Agora impomos que a derivada de varphi em relação a y seja Fy=xz. Calculando
partial varphipartial y = xz + partial Cpartial y(y,z)
e igualando a Fy, temos
xz + Cy(y,z) = xz implies Cy(y,z)=0
Isso mostra que C não depende de y, ou seja, C(y,z)=D(z).

Passo 5

Por fim, exigimos que a derivada de varphi em relação a z seja Fz=xy. Calculando
partial varphipartial z = xy + D'(z)
e igualando a Fz, obtemos
xy + D'(z) = xy implies D'(z)=0
Isso implica que D(z) é constante. Portanto,
varphi(x,y,z)=xyz + constante

Resposta

Uma função potencial é varphi(x,y,z)=xyz (até adição de constante).

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