Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial associada. O conteúdo é Cálculo Vetorial – campos conservativos e funções potenciais –, e vamos precisar calcular o rotacional de
e em seguida integrar componentes para obter a potencial.
Passo 2
Para um campo ser conservativo em um domínio simplesmente conexo (como
), seu rotacional deve ser o vetor nulo. Vamos calcular
Expandindo, obtemos cada componente:
Portanto
, ou seja,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
começamos integrando a componente
em relação a
:
onde
é constante relativa à
.
Passo 4
Agora impomos que a derivada de
em relação a
seja
. Calculando
e igualando a
, temos
Isso mostra que
não depende de
, ou seja,
.
Passo 5
Por fim, exigimos que a derivada de
em relação a
seja
. Calculando
e igualando a
, obtemos
Isso implica que
é constante. Portanto,
Resposta
Uma função potencial é
(até adição de constante).