Um fio de 62,0 \mathrm{~cm} de comprimento e 13,0 \mathrm{~g} de massa está suspenso por um par de condutores flexíveis num campo magnético de 0,44 \mathrm{~T}. Quais são a intensidade e o sentido da corrente elétrica necessários para anular a tensão nos fios de suporte?
\begin{aligned} & e=3,602 \times 10^{-19} \mathrm{c} \\\ & m e=9,109 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\\ & k=\frac{1}{2} m N^{2}=e V \\\ & \overrightarrow{F_{E}}=q \vec{E} ; E=\frac{V}{d} \\\ & \overrightarrow{F_{B}}=q \vec{N} \times \vec{B} \\\ & \Phi_{B}=\int \vec{B} \cdot d \vec{A} \\\ & \oint \vec{B} \cdot d \vec{A}=0 \end{aligned}
\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} F_{B}=I \vec{l} \times \vec{B} & \oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=N_{0} I_{\text {int }} \\\ d F_{B}=I d \vec{l} \times \vec{B} & \xi=-\frac{d \Phi_{B}}{d t} \\\ B=\frac{N_{0}}{4 \pi} \times \frac{q \vec{s} \times \hat{r}}{r^{2}} & \xi=9,8 \lambda \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \\\ d B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \times \frac{I d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}} & \\\ B=\frac{N_{0} J}{2 \pi r} & \end{array} \end{array}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados:
\text{comprimento do fio } L = 62{,}0\\ \mathrm{cm}
\text{massa do fio } m = 13{,}0\\ \mathrm{g}
\text{campo magnético } B = 0{,}44\\ \mathrm{T}é
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}
Pedido:
  • A intensidade da corrente elétrica necessária para anular a tensão nos fios de suporte.
  • O sentido da corrente (qual direção devemos fazer a corrente percorrer no fio) para que a força magnética anule o peso.
Observação importante (assunção razoável, necessária para resolver): suponho que o fio esteja aproximadamente horizontal e que o campo magnético seja uniformemente perpendicular ao fio, de modo que a força magnética sobre o fio seja dada por F_{B}=I L B. Se a orientação real for diferente (ângulo entre fio e \vec{B} diferente de 90^\circ), seria preciso usar F_B=I L B\sin\theta.

Passo 2

Converto unidades para o SI e calculo o peso do fio:
Massa em quilogramas:
m = 13{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}0130\\ \mathrm{kg}.
Comprimento em metros:
L = 62{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}620\\ \mathrm{m}.
Peso (força gravitacional) do fio:
W = mg = 0{,}0130\times 9{,}8 = 0{,}1274\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Apresento a fórmula da força magnética sobre um fio retilíneo que transporta corrente:
A força magnética vetorial é
\vec{F}_{B}=I\,\vec{L}\times\vec{B},
onde:
  • I é a intensidade da corrente (A),
  • \vec{L} é o vetor comprimento do fio na direção da corrente (m) com magnitude L,
  • \vec{B} é o campo magnético (T).
A magnitude da força é
F_{B}=I L B \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{L} e \vec{B}. Pela assunção do Passo 1, \theta=90^\circ e \sin\theta=1, logo
F_{B}=I L B.
Para anular a tensão nos fios de suporte, a componente vertical da força magnética deve equilibrar o peso; com a nossa assunção isso significa:
F_{B}=W=mg.

Passo 4

Isolo I da igualdade I L B = mg:
I=\frac{mg}{L B}.
Substituo os valores numéricos (mostrando as contas de modo bem mastigado):
mg = 0{,}0130\times 9{,}8 = 0{,}1274\\ \mathrm{N},
L B = 0{,}620\times 0{,}44 = 0{,}2728\\ \mathrm{m\cdot T}.
Agora divido:
I=\frac{0{,}1274}{0{,}2728}=0{,}4673\\ \mathrm{A}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos (o menor número de algarismos significativos entre os dados é 2, vindo de B=0{,}44), tomo duas casas significativas:
I\approx 0{,}47\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Determino o sentido da corrente necessário para que a força magnética seja para cima.
Regra prática (regra da mão direita para \vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B}):
  • Aponte os dedos na direção do vetor \vec{L} (direção da corrente),
  • curve os dedos na direção de \vec{B},
  • o polegar indica o sentido de \vec{F}_B.
Queremos \vec{F}_{B} apontando para cima (oposto ao peso). Logo o sentido da corrente deve ser tal que \vec{L}\times\vec{B} aponte para cima.
Exemplos práticos (dependendo da orientação do campo, escolha o correspondente):
  • Se o fio é horizontal, o campo \vec{B} apontar “para dentro da página” (ou seja, em direção a nós negativo z), então a corrente deve fluir da esquerda para a direita para que \vec{L}\times\vec{B} seja para cima.
  • Se o campo \vec{B} apontar “para fora da página”, então a corrente deve fluir da direita para a esquerda para obter força para cima.
Portanto, o enunciado não especifica para qual lado é o campo; a resposta em termos vetoriais é: a corrente deve ter sentido tal que I\vec{L}\times\vec{B} aponte para cima (isto é, use a regra da mão direita para escolher o sentido concreto a partir da direção do campo).

Resposta

I \approx 0{,}47\\ \mathrm{A}
Sentido: a corrente deve fluir de modo que I\vec{L}\times\vec{B} aponte para cima. Por exemplo, se \vec{B} estiver para dentro da página e o fio for horizontal, a corrente deve ir da esquerda para a direita.

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