Situações do Cotidiano

Uma viga horizontal uniforme de comprimento de 8,00 \mathrm{~m} e peso. de 200 N está ligada a uma parede por um pivô. A extremidade distante da parede está sustentada por um cabo que faz um ângulo de 53,00 com a horizontal. Se um homem de 600 N está parado a 2,00 \mathrm{~m} da parede, encontre a tensão no cabo e a força exercida pela parede sobre a viga.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da viga: L=8,00\\ \mathrm{m}.
    • Peso da viga (força gravitacional sobre a viga): W_{\text{viga}}=200\\ \mathrm{N}. Sendo a viga uniforme, esse peso age no centro da viga, ou seja, a 4,00\\ \mathrm{m} da parede.
    • Um homem com peso W_{\text{homem}}=600\\ \mathrm{N} está parado a 2,00\\ \mathrm{m} da parede.
    • A viga está presa na parede por um pivô (no extremo na parede) e na extremidade oposta é sustentada por um cabo que faz um ângulo \theta=53,00^\circ com a horizontal.
  • O que se pede:
    • A tensão no cabo, T.
    • A força exercida pela parede sobre a viga (ou seja, a reação no pivô). Vou apresentar as componentes horizontal e vertical dessa reação, bem como sua intensidade e direção.

Passo 2

Desenho mental e forças envolvidas (construindo o corpo livre):
  • No pivô (na parede) teremos uma força de reação que pode ter componente horizontal R_x e componente vertical R_y. Essas duas componentes somadas formam a força resultante da parede sobre a viga.
  • A tensão T no cabo tem duas componentes: horizontal T_x = T\cos\theta e vertical T_y = T\sin\theta.
  • As forças descendentes (para baixo) são os pesos: W_{\text{viga}}=200\\ \mathrm{N} atuando a 4,00\\ \mathrm{m} do pivô e W_{\text{homem}}=600\\ \mathrm{N} atuando a 2,00\\ \mathrm{m} do pivô.
Explicação rápida (fórmulas que vamos usar):
  • Equilíbrio de forças: numa situação estática sem aceleração, a soma vetorial das forças é zero. Em componentes: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0.Aqui F_x e F_y representam as componentes horizontais e verticais de todas as forças.
  • Equilíbrio de momentos (torques): a soma dos momentos (torques) em torno de qualquer ponto também é zero: \sum \tau = 0.Para facilitar, é conveniente calcular torques em torno do pivô (onde a reação da parede atua), porque assim as componentes R_x e R_y não aparecem nos momentos (braço de alavanca zero), simplificando as contas.
  • Para uma força F aplicada a uma distância d do pivô, o momento é \tau = F\cdot d (quando a linha de ação da força é perpendicular ao braço; aqui as forças verticais têm braço horizontal igual à distância dada).

Passo 3

Equilíbrio de momentos em torno do pivô (para encontrar T).
  • Convenções: tomamos momentos positivos no sentido anti-horário. As forças que tendem a rodar a viga no sentido anti-horário dão momento positivo, as que tendem ao sentido horário dão momento negativo.
  • A componente vertical da tensão é T_y = T\sin\theta (atua para cima na extremidade a 8,00\\ \mathrm{m}), e gera momento que tende a levantar a extremidade (sentido anti-horário).
  • Os pesos W_{\text{viga}} e W_{\text{homem}} tendem a virar a viga para baixo (sentido horário), portanto seus momentos são negativos.
    Escrevendo \sum \tau = 0 em torno do pivô:
T\sin\theta \cdot 8{,}00 - W_{\text{viga}}\cdot 4{,}00 - W_{\text{homem}}\cdot 2{,}00 = 0.
Substituindo os valores numéricos:
T\sin(53{,}00^\circ)\cdot 8{,}00 - 200\cdot 4{,}00 - 600\cdot 2{,}00 = 0.
Calcule o lado dos pesos:
200\cdot 4{,}00 = 800\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad 600\cdot 2{,}00 = 1200\\ \mathrm{N\cdot m},
logo a soma é 2000\\ \mathrm{N\cdot m}. Portanto
T\sin(53{,}00^\circ)\cdot 8{,}00 = 2000.
Isolando T:
T = \dfrac{2000}{8{,}00\cdot \sin(53{,}00^\circ)} = \dfrac{250}{\sin(53{,}00^\circ)}.
Agora calculamos numericamente. Usando \sin(53{,}00^\circ)\approx 0{,}7986355,
T \approx \dfrac{250}{0{,}7986355}\approx 313{,}1\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a tensão no cabo é aproximadamente 313{,}1\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Componentes da tensão (para usar nas equações de equilíbrio de forças):
  • Componente vertical da tensão: T_y = T\sin\theta \approx 313{,}1\cdot \sin(53{,}00^\circ)\approx 313{,}1\cdot 0{,}7986355 \approx 250{,}0\\ \mathrm{N}.(Observação: esse valor volta a aparecer porque foi usado para obter T.)
  • Componente horizontal da tensão: T_x = T\cos\theta \approx 313{,}1\cdot \cos(53{,}00^\circ).Usando \cos(53{,}00^\circ)\approx 0{,}601815, T_x \approx 313{,}1\cdot 0{,}601815 \approx 188{,}5\\ \mathrm{N}.
Direção: a componente horizontal do cabo puxa a viga em direção à parede (isto é, para a esquerda); para equilibrar, a parede deve empurrar a viga para a direita com R_x de mesma magnitude.

Passo 5

Equilíbrio das forças verticais (para encontrar R_y).
A soma das forças verticais deve ser zero:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_y + T_y - W_{\text{viga}} - W_{\text{homem}} = 0.
Isolando R_y:
R_y = W_{\text{viga}} + W_{\text{homem}} - T_y.
Substituindo valores:
R_y = 200 + 600 - 250{,}0 = 800 - 250{,}0 = 550{,}0\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a parede exerce uma força vertical para cima sobre a viga de 550{,}0\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Equilíbrio das forças horizontais (para encontrar R_x).
A soma das forças horizontais deve ser zero. Tomando positivo para a direita:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad R_x - T_x = 0 \quad\Rightarrow\quad R_x = T_x.
Portanto
R_x \approx 188{,}5\\ \mathrm{N},
direcionada para a direita (pois a tensão puxa a viga para a esquerda).

Passo 7

Força resultante da parede (módulo e direção).
  • Módulo da reação no pivô: R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \approx \sqrt{(188{,}5)^2 + (550{,}0)^2}.Cálculo numérico: R \approx \sqrt{35535{,}25 + 302500{,}00} = \sqrt{338035{,}25} \approx 581{,}5\\ \mathrm{N}.
  • Direção (ângulo \varphi que o vetor reação faz com a horizontal, medido acima da horizontal): \varphi = \arctan\!\left(\dfrac{R_y}{R_x}\right) \approx \arctan\!\left(\dfrac{550{,}0}{188{,}5}\right).Calculando: \varphi \approx \arctan(2{,}919) \approx 70{,}9^\circ.
Interpretação: a força da parede sobre a viga tem intensidade aproximada de 581{,}5\\ \mathrm{N} e aponta 70{,}9^\circ acima da horizontal (com componentes R_x\approx 188{,}5\\ \mathrm{N} para a direita e R_y=550{,}0\\ \mathrm{N} para cima).

Passo 8

Pequeno resumo didático-final (para você lembrar na prova):
  • Use sempre equilíbrio de momentos em torno de um ponto que elimine incógnitas (aqui o pivô), assim você encontra T direto.
  • Depois use \sum F_y=0 e \sum F_x=0 para obter as componentes da reação no pivô.
  • A decomposição da tensão é T_x=T\cos\theta e T_y=T\sin\theta.
  • Verifique unidades e sentidos (sinais) das forças para ter certeza de que somou corretamente.

Resposta

Tensão no cabo: T\approx 313{,}1\\ \mathrm{N}.
Componente horizontal da força da parede: R_x\approx 188{,}5\\ \mathrm{N} (para a direita).
Componente vertical da força da parede: R_y=550{,}0\\ \mathrm{N} (para cima).
Intensidade da força da parede: R\approx 581{,}5\\ \mathrm{N} a \approx 70{,}9^\circ acima da horizontal.

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