Situações do Cotidiano
Uma viga horizontal uniforme de comprimento de
e peso. de 200 N está ligada a uma parede por um pivô. A extremidade distante da parede está sustentada por um cabo que faz um ângulo de 53,00 com a horizontal. Se um homem de 600 N está parado a
da parede, encontre a tensão no cabo e a força exercida pela parede sobre a viga.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dados fornecidos:
- Comprimento da viga:
. - Peso da viga (força gravitacional sobre a viga):
. Sendo a viga uniforme, esse peso age no centro da viga, ou seja, a da parede. - Um homem com peso
está parado a da parede. - A viga está presa na parede por um pivô (no extremo na parede) e na extremidade oposta é sustentada por um cabo que faz um ângulo
com a horizontal.
- Comprimento da viga:
- O que se pede:
- A tensão no cabo,
. - A força exercida pela parede sobre a viga (ou seja, a reação no pivô). Vou apresentar as componentes horizontal e vertical dessa reação, bem como sua intensidade e direção.
- A tensão no cabo,
Passo 2
Desenho mental e forças envolvidas (construindo o corpo livre):
- No pivô (na parede) teremos uma força de reação que pode ter componente horizontal
e componente vertical . Essas duas componentes somadas formam a força resultante da parede sobre a viga. - A tensão
no cabo tem duas componentes: horizontal e vertical . - As forças descendentes (para baixo) são os pesos:
atuando a do pivô e atuando a do pivô.
Explicação rápida (fórmulas que vamos usar):
- Equilíbrio de forças: numa situação estática sem aceleração, a soma vetorial das forças é zero. Em componentes:
Aqui e representam as componentes horizontais e verticais de todas as forças. - Equilíbrio de momentos (torques): a soma dos momentos (torques) em torno de qualquer ponto também é zero:
Para facilitar, é conveniente calcular torques em torno do pivô (onde a reação da parede atua), porque assim as componentes e não aparecem nos momentos (braço de alavanca zero), simplificando as contas. - Para uma força
aplicada a uma distância do pivô, o momento é (quando a linha de ação da força é perpendicular ao braço; aqui as forças verticais têm braço horizontal igual à distância dada).
Passo 3
Equilíbrio de momentos em torno do pivô (para encontrar
).
- Convenções: tomamos momentos positivos no sentido anti-horário. As forças que tendem a rodar a viga no sentido anti-horário dão momento positivo, as que tendem ao sentido horário dão momento negativo.
- A componente vertical da tensão é
(atua para cima na extremidade a ), e gera momento que tende a levantar a extremidade (sentido anti-horário). - Os pesos
e tendem a virar a viga para baixo (sentido horário), portanto seus momentos são negativos.
Escrevendoem torno do pivô:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule o lado dos pesos:
logo a soma é
. Portanto
Isolando
:
Agora calculamos numericamente. Usando
,
Interpretação: a tensão no cabo é aproximadamente
.
Passo 4
Componentes da tensão (para usar nas equações de equilíbrio de forças):
- Componente vertical da tensão:
(Observação: esse valor volta a aparecer porque foi usado para obter .) - Componente horizontal da tensão:
Usando ,
Direção: a componente horizontal do cabo puxa a viga em direção à parede (isto é, para a esquerda); para equilibrar, a parede deve empurrar a viga para a direita com
de mesma magnitude.
Passo 5
Equilíbrio das forças verticais (para encontrar
).
A soma das forças verticais deve ser zero:
A soma das forças verticais deve ser zero:
Isolando
:
Substituindo valores:
Interpretação: a parede exerce uma força vertical para cima sobre a viga de
.
Passo 6
Equilíbrio das forças horizontais (para encontrar
).
A soma das forças horizontais deve ser zero. Tomando positivo para a direita:
A soma das forças horizontais deve ser zero. Tomando positivo para a direita:
Portanto
direcionada para a direita (pois a tensão puxa a viga para a esquerda).
Passo 7
Força resultante da parede (módulo e direção).
- Módulo da reação no pivô:
Cálculo numérico: - Direção (ângulo
que o vetor reação faz com a horizontal, medido acima da horizontal): Calculando:
Interpretação: a força da parede sobre a viga tem intensidade aproximada de
e aponta
acima da horizontal (com componentes
para a direita e
para cima).
Passo 8
Pequeno resumo didático-final (para você lembrar na prova):
- Use sempre equilíbrio de momentos em torno de um ponto que elimine incógnitas (aqui o pivô), assim você encontra
direto. - Depois use
e para obter as componentes da reação no pivô. - A decomposição da tensão é
e . - Verifique unidades e sentidos (sinais) das forças para ter certeza de que somou corretamente.
Resposta
Tensão no cabo:
.
Componente horizontal da força da parede: (para a direita).
Componente vertical da força da parede: (para cima).
Intensidade da força da parede: a
acima da horizontal.
Componente horizontal da força da parede:
Componente vertical da força da parede:
Intensidade da força da parede: