Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante \mathrm{a}= 2,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão? (b) Qual a velocidade do carro nesse instante? (c) trace os gráficos x vs. \mathrm{t} \mathrm{e} \mathrm{v} \mathrm{vs}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá dados iniciais. Vou listar direitinho para ninguém se perder.
  • Perguntas:
    (a) A que distância, medida a partir do sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão?
    (b) Qual a velocidade do carro nesse instante?
    (c) Trace os gráficos x vs. t e v vs. t.
  • Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
    a = 2{,}2\\ \mathrm{m/s^2} \quad\text{(aceleração constante do carro)}çã
v_{\text{caminhão}} = 9{,}5\\ \mathrm{m/s} \quad\text{(velocidade constante do caminhão)}ãã
O enunciado diz que, no instante em que a luz fica verde (tomamos isso como t=0), o caminhão ultrapassa o automóvel. Isso implica que, nesse instante, ambos estão na mesma posição (que vamos tomar como x=0) e o automóvel parte do repouso. Portanto:
x_{\text{carro}}(0)=x_{\text{caminhão}}(0)=0,\qquad v_{\text{carro}}(0)=0.ã

Passo 2

Principais fórmulas de movimento que vou usar — explicando cada símbolo para ficar claro:
  • Para um móvel com aceleração constante a, posição e velocidade (referência: partir do tempo t=0): x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
v(t)=v_0 + a t.
Onde:
  • x(t) é a posição no instante t,
  • x_0 é a posição inicial (aqui x_0=0),
  • v_0 é a velocidade inicial (para o carro v_0=0),
  • a é a aceleração (no caso do carro a=2{,}2\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Para um móvel em velocidade constante v_{\text{c}}:
    x(t)=x_0+v_{\text{c}} t.
    Onde v_{\text{c}} é constante (para o caminhão v_{\text{c}}=9{,}5\\ \mathrm{m/s}).
Vou aplicar essas fórmulas ao carro e ao caminhão, lembrando que ambos têm x_0=0 no instante t=0.

Passo 3

Escrevendo as equações específicas dos dois veículos com os números do enunciado:
  • Carro (parte do repouso com aceleração):
    x_{\text{carro}}(t)=\tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}2\\ t^2 = 1{,}1\\ t^2.
  • Caminhão (movimento retilíneo uniforme):
    x_{\text{caminhão}}(t)=v_{\text{caminhão}}\, t = 9{,}5\\ t.ãã
O carro ultrapassa o caminhão quando as posições são iguais para algum t>0. Logo, igualamos as duas equações:
1{,}1\\ t^2 = 9{,}5\\ t.

Passo 4

Resolvendo a equação de igualdade de posições. Primeiro fatoramos:
t\left(1{,}1\\ t - 9{,}5\right)=0.
As soluções são t=0 (o instante inicial, trivial) e
1{,}1\\ t - 9{,}5 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{9{,}5}{1{,}1}.
Faço a conta de forma exata usando frações para ver a simplificação elegante: como 9{,}5=\tfrac{19}{2} e 1{,}1=\tfrac{11}{10}, então
t = \frac{\tfrac{19}{2}}{\tfrac{11}{10}} = \frac{19}{2}\cdot\frac{10}{11} = \frac{190}{22} = \frac{95}{11}\\ \mathrm{s}.
Valor decimal:
t \approx 8{,}63636\\ \mathrm{s}.
Arredondando para duas casas decimais fica t \approx 8{,}64\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculo a distância a partir do sinal onde ocorre a ultrapassagem (resposta da parte (a)). Posso usar a posição do caminhão ou do carro naquele instante; ambas dão o mesmo resultado. Uso a expressão do caminhão:
x = x_{\text{caminhão}}(t) = 9{,}5\cdot t = 9{,}5\cdot\frac{95}{11}.ã
Calculo exatamente:
x = \frac{19}{2}\cdot\frac{95}{11} = \frac{1805}{22}.
Dividindo:
x \approx 82{,}04545\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais:
x \approx 82{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculo a velocidade do carro no instante da ultrapassagem (resposta da parte (b)). Fórmula da velocidade do carro:
v_{\text{carro}}(t) = v_{0} + a t = 0 + a t = a t.
Substituo t=\dfrac{95}{11} e a=2{,}2:
v_{\text{carro}} = 2{,}2\cdot\frac{95}{11}.
Usando frações novamente: 2{,}2=\tfrac{11}{5}, então
v_{\text{carro}} = \frac{11}{5}\cdot\frac{95}{11} = \frac{95}{5} = 19\\ \mathrm{m/s}.
Interessante observar (rápida intuição): como t=\dfrac{2 v_{\text{caminhão}}}{a}ã, temos v_{\text{carro}}=a t = 2 v_{\text{caminhão}} = 2\cdot 9{,}5 = 19\\ \mathrm{m/s}ã. Então é exato e simples.

Passo 7

Agora a parte (c): como desenhar os gráficos x vs. t e v vs. t. Vou dar as equações a serem usadas e pontos-chave para fazer o esboço à mão ou em papel milimetrado.
  • Equações para traçar: x_{\text{carro}}(t)=1{,}1\\ t^2\quad(\text{em metros}),
x_{\text{caminhão}}(t)=9{,}5\\ t\quad(\text{em metros}),ã
v_{\text{carro}}(t)=2{,}2\\ t\quad(\text{em m/s}),
v_{\text{caminhão}}(t)=9{,}5\quad(\text{constante, em m/s}).ã
  • Como esboçar x vs. t:
    • Eixos: eixo horizontal t (s), eixo vertical x (m).
    • No instante t=0: ambos x=0.
    • Para pequenos tempos (ex.: t=2\\ \mathrm{s}): x_{\text{carro}}=1{,}1\cdot 4=4{,}4\\ \mathrm{m}, x_{\text{caminhão}}=9{,}5\cdot 2=19\\ \mathrm{m}ã. Isso mostra que inicialmente o caminhão está à frente.
    • Ponto de ultrapassagem: t\approx 8{,}64\\ \mathrm{s}, x\approx 82{,}05\\ \mathrm{m}. Marque esse ponto; ali a parábola do carro cruza a reta do caminhão.
    • Para t>8{,}64\\ \mathrm{s}: a parábola cresce mais rápido que a reta (o carro já ficou à frente).
    • Dica de escala: escolha unidades de tempo de 2 s por divisão e em x divisões de 20 m para caber os valores.
  • Como esboçar v vs. t:
    • Eixos: eixo horizontal t (s), eixo vertical v (m/s).
    • Caminhão: reta horizontal em v=9{,}5\\ \mathrm{m/s}.
    • Carro: linha reta com inclinação a=2{,}2\\ \mathrm{m/s^2} passando pela origem; exemplos de pontos:
      • t=0: v_{\text{carro}}=0.
      • t\approx 4{,}318\\ \mathrm{s} (metade do tempo de ultrapassagem): v_{\text{carro}}=9{,}5\\ \mathrm{m/s} — aqui as velocidades se igualam, mas as posições ainda não.
      • t\approx 8{,}64\\ \mathrm{s}: v_{\text{carro}}=19\\ \mathrm{m/s} — nesse instante o carro ultrapassa o caminhão.
    • Dica: trace a linha do carro a partir da origem com inclinação tal que em t=8{,}64 atinja v=19.

Resposta

(a) x \approx 82{,}05\\ \mathrm{m}
(b) v_{\text{carro}} = 19\\ \mathrm{m/s}
(c) x_{\text{carro}}(t)=1{,}1\\ t^2,\; x_{\text{caminhão}}(t)=9{,}5\\ t;\; v_{\text{carro}}(t)=2{,}2\\ t,\; v_{\text{caminhão}}(t)=9{,}5ãã

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