Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante
. No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de
, ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão? (b) Qual a velocidade do carro nesse instante? (c) trace os gráficos x vs.
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá dados iniciais. Vou listar direitinho para ninguém se perder.
-
Perguntas:
(a) A que distância, medida a partir do sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão?
(b) Qual a velocidade do carro nesse instante?
(c) Trace os gráficosvs. e vs. . -
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
O enunciado diz que, no instante em que a luz fica verde (tomamos isso como
), o caminhão ultrapassa o automóvel. Isso implica que, nesse instante, ambos estão na mesma posição (que vamos tomar como
) e o automóvel parte do repouso. Portanto:
Passo 2
Principais fórmulas de movimento que vou usar — explicando cada símbolo para ficar claro:
- Para um móvel com aceleração constante
, posição e velocidade (referência: partir do tempo ):
Onde:
-
é a posição no instante , -
é a posição inicial (aqui ), -
é a velocidade inicial (para o carro ), -
é a aceleração (no caso do carro ). -
Para um móvel em velocidade constante
: Ondeé constante (para o caminhão ).
Vou aplicar essas fórmulas ao carro e ao caminhão, lembrando que ambos têm
no instante
.
Passo 3
Escrevendo as equações específicas dos dois veículos com os números do enunciado:
-
Carro (parte do repouso com aceleração):
-
Caminhão (movimento retilíneo uniforme):
O carro ultrapassa o caminhão quando as posições são iguais para algum
. Logo, igualamos as duas equações:
Passo 4
Resolvendo a equação de igualdade de posições. Primeiro fatoramos:
As soluções são
(o instante inicial, trivial) e
Faço a conta de forma exata usando frações para ver a simplificação elegante: como
e
, então
Valor decimal:
Arredondando para duas casas decimais fica
.
Passo 5
Agora calculo a distância a partir do sinal onde ocorre a ultrapassagem (resposta da parte (a)). Posso usar a posição do caminhão ou do carro naquele instante; ambas dão o mesmo resultado. Uso a expressão do caminhão:
Calculo exatamente:
Dividindo:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Calculo a velocidade do carro no instante da ultrapassagem (resposta da parte (b)). Fórmula da velocidade do carro:
Substituo
e
:
Usando frações novamente:
, então
Interessante observar (rápida intuição): como
, temos
. Então é exato e simples.
Passo 7
Agora a parte (c): como desenhar os gráficos
vs.
e
vs.
. Vou dar as equações a serem usadas e pontos-chave para fazer o esboço à mão ou em papel milimetrado.
- Equações para traçar:
-
Como esboçar
vs. : - Eixos: eixo horizontal
(s), eixo vertical (m). - No instante
: ambos . - Para pequenos tempos (ex.:
): , . Isso mostra que inicialmente o caminhão está à frente. - Ponto de ultrapassagem:
, . Marque esse ponto; ali a parábola do carro cruza a reta do caminhão. - Para
: a parábola cresce mais rápido que a reta (o carro já ficou à frente). - Dica de escala: escolha unidades de tempo de 2 s por divisão e em
divisões de 20 m para caber os valores.
- Eixos: eixo horizontal
-
Como esboçar
vs. : - Eixos: eixo horizontal
(s), eixo vertical (m/s). - Caminhão: reta horizontal em
. - Carro: linha reta com inclinação
passando pela origem; exemplos de pontos: -
: . -
(metade do tempo de ultrapassagem): — aqui as velocidades se igualam, mas as posições ainda não. -
: — nesse instante o carro ultrapassa o caminhão.
-
- Dica: trace a linha do carro a partir da origem com inclinação tal que em
atinja .
- Eixos: eixo horizontal
Resposta
(a)
(b)
(c)