Sobre o êmbolo menor de uma prensa hidráulica, de diâmetro 30 cm , exerce-se uma força de intensidade 5.0 N , enquanto que no maior a força exercida tem o valor de 20 N . Determine o diâmetro do êmbolo maior.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o diâmetro do êmbolo maior, dado que:
- diâmetro do êmbolo menor:
- força aplicada no êmbolo menor:
- força aplicada no êmbolo maior:
Pergunta explícita: qual é o valor de, o diâmetro do êmbolo maior?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): pressão em um fluido
- A pressão
é definida como a força dividida pela área sobre a qual a força atua. Em símbolos:
onde
é a pressão (em pascal, por exemplo),
é a força (em newtons) e
é a área (em metros quadrados).
- Em uma prensa hidráulica (princípio de Pascal), a pressão transmitida pelo fluido é a mesma em ambos os êmbolos. Ou seja,
.
Passo 3
Área de um êmbolo circular (fórmula e explicação):
- Cada êmbolo tem forma circular na seção, então sua área é a área de um círculo. A fórmula é
onde
é a área e
é o diâmetro do círculo. Aqui
e
são os diâmetros dos êmbolos menor e maior, respectivamente.
Passo 4
Usando igualdade de pressões entre os dois êmbolos:
Agora substituímos as áreas com
. Em forma exibida:
Passo 5
Simplificação algébrica (passo a passo):
- Note que ambos os denominadores têm o fator
, que se cancela dos dois lados. Então ficamos com
- Queremos
. Isolando :
- Tomando raiz quadrada (lembrando de tomar a raiz positiva, pois diâmetro é positivo):
Aqui cada símbolo significa:
diâmetro procurado,
diâmetro conhecido do menor,
e
são as forças dadas.
Passo 6
Substituição numérica e cálculo (pondo os valores do enunciado):
- Substituindo
, e ,
- Calcule a razão dentro da raiz:
- Então
Passo 7
Conclusão do cálculo:
Verificação rápida de razão de sentido: como a força no êmbolo maior é maior, o êmbolo maior precisa ter área (e, portanto, diâmetro) maior — faz sentido físico.