Sobre o êmbolo menor de uma prensa hidráulica, de diâmetro 30 cm , exerce-se uma força de intensidade 5.0 N , enquanto que no maior a força exercida tem o valor de 20 N . Determine o diâmetro do êmbolo maior.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o diâmetro do êmbolo maior, dado que:
  • diâmetro do êmbolo menor: d_1 = 30\\ \text{cm}
  • força aplicada no êmbolo menor: F_1 = 5,0\\ \text{N}
  • força aplicada no êmbolo maior: F_2 = 20\\ \text{N}
    Pergunta explícita: qual é o valor de d_2, o diâmetro do êmbolo maior?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): pressão em um fluido
  • A pressão p é definida como a força dividida pela área sobre a qual a força atua. Em símbolos:
p=\frac{F}{A}
onde p é a pressão (em pascal, por exemplo), F é a força (em newtons) e A é a área (em metros quadrados).
  • Em uma prensa hidráulica (princípio de Pascal), a pressão transmitida pelo fluido é a mesma em ambos os êmbolos. Ou seja, p_1=p_2.

Passo 3

Área de um êmbolo circular (fórmula e explicação):
  • Cada êmbolo tem forma circular na seção, então sua área é a área de um círculo. A fórmula é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}
onde A é a área e d é o diâmetro do círculo. Aqui d_1 e d_2 são os diâmetros dos êmbolos menor e maior, respectivamente.

Passo 4

Usando igualdade de pressões entre os dois êmbolos:
p_1=p_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}.
Agora substituímos as áreas com A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Em forma exibida:
\frac{F_1}{\dfrac{\pi d_1^{2}}{4}}=\frac{F_2}{\dfrac{\pi d_2^{2}}{4}}.

Passo 5

Simplificação algébrica (passo a passo):
  • Note que ambos os denominadores têm o fator \dfrac{\pi}{4}, que se cancela dos dois lados. Então ficamos com
\frac{F_1}{d_1^{2}}=\frac{F_2}{d_2^{2}}.
  • Queremos d_2. Isolando d_2^{2}:
d_2^{2} = d_1^{2}\,\frac{F_2}{F_1}.
  • Tomando raiz quadrada (lembrando de tomar a raiz positiva, pois diâmetro é positivo):
d_2 = d_1\sqrt{\frac{F_2}{F_1}}.
Aqui cada símbolo significa: d_2 diâmetro procurado, d_1 diâmetro conhecido do menor, F_1 e F_2 são as forças dadas.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo (pondo os valores do enunciado):
  • Substituindo d_1=30\\ \text{cm}, F_1=5,0\\ \text{N} e F_2=20\\ \text{N},
d_2 = 30\\ \text{cm}\;\sqrt{\frac{20}{5,0}}.
  • Calcule a razão dentro da raiz:
\frac{20}{5,0}=4.
  • Então
\sqrt{4}=2.

Passo 7

Conclusão do cálculo:
d_2 = 30\\ \text{cm}\times 2 = 60\\ \text{cm}.
Verificação rápida de razão de sentido: como a força no êmbolo maior é maior, o êmbolo maior precisa ter área (e, portanto, diâmetro) maior — faz sentido físico.

Resposta

60\\ \text{cm}

Exercícios relacionados