Um fio de aço para construção civil foi ensaiado à tração e apresentou os seguintes resultados:
Resistência
\mathrm{f}_{\mathrm{i}}(\mathrm{MPa})
45 120 220 310 375 425 460 480 500 510 520
\varepsilon(\%) 0,025 0,075 0,130 0,175 0,225 0,275 0,325 0,400 0,450 0500 0,550
  • Diâmetro nominal do fio =8,0 \mathrm{~mm}
  • Massa linear do fio ensaiado = menor valor permitido pela NBR 7480 p/ o diâmetro nominal explicitado
  • Carga máxima atingida no ensaio =3100 \mathrm{kgf}
  • \mathrm{Lf}=90 \mathrm{~mm}
Obs: Adotar 1 \mathrm{MPa}=10 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}
Calcular:
\mathrm{E}(\mathrm{MPa})

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de pares “resistência \mathrm{f}_i (MPa)” e “deformação \varepsilon (%)”, além de outras informações. Pergunta: calcular \mathrm{E} (módulo de Young) em MPa.
Dados relevantes (retirados do enunciado/tabela):
\begin{array}{c|cccc} \mathrm{f}_i\;(\mathrm{MPa}) & 45 & 120 & 220 & 310 & 375 & 425 & 460 & 480 & 500 & 510 & 520\\hline \varepsilon\;(\%) & 0{,}025 & 0{,}075 & 0{,}130 & 0{,}175 & 0{,}225 & 0{,}275 & 0{,}325 & 0{,}400 & 0{,}450 & 0{,}500 & 0{,}550 \end{array}
  • Diâmetro nominal =8{,}0\\ \mathrm{mm} (informação disponível).
  • Carga máxima atingida =3100\\ \mathrm{kgf} (informação disponível).
  • L_{\mathrm{f}}=90\\ \mathrm{mm}.
  • Observação do enunciado: 1\\ \mathrm{MPa}=10\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
O que se pede: calcular \mathrm{E} em MPa (módulo de elasticidade), usando os dados experimentais acima.

Passo 2

Entendendo o conceito e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
  • O módulo de Young \mathrm{E} é a razão entre a tensão (stress) e a deformação (strain) na região elástica linear do material. Em fórmula:
\mathrm{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon},
onde \sigma é a tensão em unidades de pressão (aqui \mathrm{MPa}) e \varepsilon é a deformação adimensional (sem unidade), por exemplo 0{,}1\% = 0{,}001.
  • Observação importante: as deformações da tabela estão em porcentagem. Para usar a fórmula, precisamos transformar \% em valor adimensional dividindo por 100.
  • Em ensaios de tração, só podemos usar pontos que estejam na parte linear do diagrama tensão-deformação (região elástica). Se usarmos pontos além do limite elástico, a razão \sigma/\varepsilon já não representa \mathrm{E}.

Passo 3

Escolhendo os pontos para estimar \mathrm{E}.
  • Olhando os primeiros pontos pequenos de deformação da tabela (os quatro primeiros) vemos que são os que representam melhor a região inicial (mais linear) do ensaio:
\begin{array}{c|cccc} \mathrm{f}_i\;(\mathrm{MPa}) & 45 & 120 & 220 & 310\\hline \varepsilon\;(\%) & 0{,}025 & 0{,}075 & 0{,}130 & 0{,}175 \end{array}
  • Vou converter essas deformações de porcentagem para adimensionais:
\begin{aligned} \varepsilon_1&=0{,}025\% = 0{,}00025,\\\ \varepsilon_2&=0{,}075\% = 0{,}00075,\\\ \varepsilon_3&=0{,}130\% = 0{,}00130,\\\ \varepsilon_4&=0{,}175\% = 0{,}00175. \end{aligned}

Passo 4

Calcular \mathrm{E} ponto a ponto (razão \sigma/\varepsilon) e interpretar.
  • Para o ponto 1:
\mathrm{E}_1=\frac{45}{0{,}00025}=180{,}000\\ \mathrm{MPa}.
  • Para o ponto 2:
\mathrm{E}_2=\frac{120}{0{,}00075}=160{,}000\\ \mathrm{MPa}.
  • Para o ponto 3:
\mathrm{E}_3=\frac{220}{0{,}00130}\approx169{,}230{,}769\\ \mathrm{MPa}.
  • Para o ponto 4:
\mathrm{E}_4=\frac{310}{0{,}00175}\approx177{,}142{,}857\\ \mathrm{MPa}.
Explicação didática: cada razão acima é uma estimativa local do módulo de Young se o ponto estiver na região elástica. Os valores obtidos são todos da mesma ordem de grandeza (casa de 10^{5}\\ \mathrm{MPa}), o que indica que os quatro pontos escolhidos estão razoavelmente na região linear.

Passo 5

Combinar as estimativas em um valor representativo.
  • Uma forma simples e prática (que dá um bom resultado em provas quando os pontos são aproximadamente lineares) é tirar a média aritmética das estimativas dos pontos iniciais:
\mathrm{E}_{\text{média}}=\frac{\mathrm{E}_1+\mathrm{E}_2+\mathrm{E}_3+\mathrm{E}_4}{4}.é
  • Substituindo os números:
\mathrm{E}_{\text{média}}=\frac{180{,}000+160{,}000+169{,}230{,}769+177{,}142{,}857}{4}\approx171{,}593{,}406\\ \mathrm{MPa}.é
  • Arredondando para um número prático com precisão compatível com dados experimentais:
\mathrm{E}\approx171{,}600\\ \mathrm{MPa}.
Comentário amigo: dá para também fazer um ajuste linear (regressão por mínimos quadrados) usando os pontos iniciais e obter valor muito próximo; a média das razões é suficiente e rápida numa prova.

Resposta

\mathrm{E}\approx171{,}600\\ \mathrm{MPa}

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