Um fio de aço para construção civil foi ensaiado à tração e apresentou os seguintes resultados:
Resistência
\mathrm{f}_{\mathrm{i}}(\mathrm{MPa})
45 120 220 310 375 425 460 480 500 510 520
\varepsilon(\%) 0,025 0,075 0,130 0,175 0,225 0,275 0,325 0,400 0,450 0500 0,550
  • Diâmetro nominal do fio =8,0 \mathrm{~mm}
  • Massa linear do fio ensaiado = menor valor permitido pela NBR 7480 p/ o diâmetro nominal explicitado
  • Carga máxima atingida no ensaio =3100 \mathrm{kgf}
  • \mathrm{Lf}=90 \mathrm{~mm}
Obs: Adotar 1 \mathrm{MPa}=10 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}
Calcular:
f_{y 0,2}(\mathrm{MPa})

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular f_{y\,0,2} (resistência de escoamento por offset de 0,2\%) em \mathrm{MPa}.
Dados fornecidos (extraídos da tabela/imagem):
  • Tabela de pontos tensão × deformação (tensão em \mathrm{MPa}, deformação em %):
    • \,45\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}025\%
    • \,120\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}075\%
    • \,220\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}130\%
    • \,310\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}175\%
    • \,375\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}225\%
    • \,425\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}275\%
    • \,460\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}325\%
    • \,480\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}400\%
    • \,500\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}450\%
    • \,510\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}500\%
    • \,520\\ \mathrm{MPa} em \,0{,}550\%
      (estou explicitando que peguei estes pontos da tabela/imagem)
  • Diâmetro nominal, massa linear, carga máxima e L_f foram dados no enunciado, mas para encontrar f_{y\,0,2} usando o método usual (offset 0,2%) precisamos principalmente da curva tensão × deformação (os pontos acima).
  • Conversão dada: 1\\ \mathrm{MPa}=10\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2 (não foi necessária para o procedimento a seguir porque já temos as tensões em \mathrm{MPa}).

Passo 2

Preparar os dados numéricos no formato conveniente (deformação em razão absoluta, não em %). Para passar de \% para razão usamos \varepsilon_{\text{razão}}=\varepsilon_{\%}/100ã.
Listo os pares (\varepsilon,\sigma) com \varepsilon em razão:
  • \,(\,0{,}00025,\;45\,)
  • \,(\,0{,}00075,\;120\,)
  • \,(\,0{,}00130,\;220\,)
  • \,(\,0{,}00175,\;310\,)
  • \,(\,0{,}00225,\;375\,)
  • \,(\,0{,}00275,\;425\,)
  • \,(\,0{,}00325,\;460\,)
  • \,(\,0{,}00400,\;480\,)
  • \,(\,0{,}00450,\;500\,)
  • \,(\,0{,}00500,\;510\,)
  • \,(\,0{,}00550,\;520\,)

Passo 3

Estimativa do módulo de elasticidade E a partir da região inicial linear.
  • O módulo E (rigidez elástica) é a razão entre incremento de tensão e incremento de deformação na região elástica: \displaystyle E=\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}. Na prática, estimamos E ajustando uma reta aos primeiros pontos (região linear inicial).
  • Vou estimar E fazendo um ajuste linear (regressão linear) nos quatro primeiros pontos (\varepsilon_i,\sigma_i) com i=1,\ldots,4. Fórmula da inclinação por mínimos quadrados: E=\frac{\sum_{i}(\varepsilon_i-\bar\varepsilon)(\sigma_i-\bar\sigma)}{\sum_{i}(\varepsilon_i-\bar\varepsilon)^2}onde \bar\varepsilon e \bar\sigma são as médias das deformações e tensões desses pontos.
  • Calcular médias (usando os quatro primeiros pontos): \bar\varepsilon=\frac{0{,}00025+0{,}00075+0{,}00130+0{,}00175}{4}=0{,}0010125
\bar\sigma=\frac{45+120+220+310}{4}=173{,}75\\ \mathrm{MPa}
  • Calcular numerador e denominador (mostro os cálculos resumidos): \sum(\varepsilon_i-\bar\varepsilon)(\sigma_i-\bar\sigma)\approx 0{,}2259999
\sum(\varepsilon_i-\bar\varepsilon)^2\approx 1{,}276875\times 10^{-6}
  • Então E\approx\frac{0{,}2259999}{1{,}276875\times 10^{-6}}\approx 177{,}066\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação: E\approx 177{,}066\\ \mathrm{MPa} (aprox. 177\\ \mathrm{GPa}). Esse é o coeficiente angular da reta elástica aproximada.

Passo 4

Explicar o método do offset 0{,}2\% e escrever a equação da reta de offset.
  • Método: traça-se uma reta com mesmo declive (mesmo E) da região elástica, porém deslocada horizontalmente de 0{,}2\% (i.e. 0{,}002 em razão). A interseção entre essa reta e a curva tensão×deformação determina f_{y\,0,2}.
  • Equação da reta de offset (com \varepsilon em razão): \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E\bigl(\varepsilon-0{,}002\bigr).
  • Nosso objetivo: resolver para \varepsilon tal que \sigma_{\text{experimental}}(\varepsilon)=\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon). Com dados discretos, localizamos entre quais pontos a curva experimental cruza essa reta e interpolamos.

Passo 5

Determinar entre quais pontos a curva experimental cruza a reta offset.
  • Calculo a diferença d_i=\sigma_i-\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon_i) para os pontos tabelados até achar mudança de sinal (isso indica interseção entre dois pontos consecutivos).
  • Cálculos principais (usando E=177{,}066\\ \mathrm{MPa}):
    • Para \varepsilon=0{,}00450: \sigma_{\text{offset}}=E(0{,}00450-0{,}002)=177{,}066\cdot 0{,}0025\approx 442{,}665\\ \mathrm{MPa}. Então d=500-442{,}665=57{,}335>0.
    • Para \varepsilon=0{,}00500: \sigma_{\text{offset}}=E(0{,}00500-0{,}002)=177{,}066\cdot 0{,}003\approx 531{,}198\\ \mathrm{MPa}. Então d=510-531{,}198=-21{,}198<0.
  • Conclusão: a mudança de sinal ocorre entre \varepsilon_1=0{,}00450 e \varepsilon_2=0{,}00500. Logo a interseção está dentro desse intervalo.

Passo 6

Interpolação linear entre os dois pontos consecutivos para determinar a cruzamento exato.
  • Aproximo a curva experimental entre os dois pontos por uma reta: \sigma_{\text{exp}}(\varepsilon)=\sigma_1 + m_{\text{exp}}(\varepsilon-\varepsilon_1),com m_{\text{exp}}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}=\frac{510-500}{0{,}00500-0{,}00450}=\frac{10}{0{,}00050}=20{,}000\\ \mathrm{MPa/(razão)}.ã
  • Igualamos \sigma_{\text{exp}}(\varepsilon)=\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002) e resolvemos para \varepsilon: \sigma_1 + m_{\text{exp}}(\varepsilon-\varepsilon_1)=E(\varepsilon-0{,}002).Reorganizando, (m_{\text{exp}}-E)\varepsilon = m_{\text{exp}}\varepsilon_1 - \sigma_1 - E\cdot 0{,}002.Portanto \varepsilon_{\text{int}}=\frac{m_{\text{exp}}\varepsilon_1 - \sigma_1 - E\cdot 0{,}002}{m_{\text{exp}}-E}.
  • Substituindo os números: m_{\text{exp}}=20{,}000,\quad \varepsilon_1=0{,}00450,\quad \sigma_1=500,\quad E=177{,}066.
\varepsilon_{\text{int}}=\frac{20{,}000\cdot 0{,}00450 - 500 - 177{,}066\cdot 0{,}002}{20{,}000-177{,}066}.
Calculemos passo a passo:
20{,}000\cdot 0{,}00450=90,\qquad 177{,}066\cdot 0{,}002=354{,}132.
\text{numerador}=90-500-354{,}132=-764{,}132.
\text{denominador}=20{,}000-177{,}066=-157{,}066.
\varepsilon_{\text{int}}=\frac{-764{,}132}{-157{,}066}\approx 0{,}004866.
  • Agora calculo a tensão de escoamento por offset: f_{y\,0,2}=\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon_{\text{int}})=E\bigl(\varepsilon_{\text{int}}-0{,}002\bigr).
f_{y\,0,2}\approx 177{,}066\cdot(0{,}004866-0{,}002)=177{,}066\cdot 0{,}002866\approx 507{,}47\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e reforço didático:
  • O valor encontrado \approx 507{,}5\\ \mathrm{MPa} é a tensão correspondente ao ponto onde a curva experimental cruza a reta com declive E deslocada 0{,}2\% à direita — isto é exatamente a definição prática de f_{y\,0,2}.
  • Dica rápida para prova: estime E com os primeiros pontos lineares (ou com uma regressão simples), escreva a equação da reta offset \sigma=E(\varepsilon-0{,}002), encontre o intervalo onde a curva cruza essa reta (mudança de sinal de \sigma_{\text{exp}}-\sigma_{\text{offset}}) e faça uma interpolação linear entre os dois pontos consecutivos.

Resposta

f_{y\,0,2}\approx 507{,}5\\ \mathrm{MPa}

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