(a) Calcule as derivadas direcionais de f no ponto (0,0) na direção do vetor v=(a, b; \operatorname{com} v \neq(0,0).
(b) A função f é contínua em \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
(c) A função f é diferenciável em \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
Agora calculamos f(ta,tb) usando a expressão de f para pontos diferentes de (0,0).
Passo 3
Cálculo direto de f(ta,tb). Substituindo,
f(ta,tb)=\frac{(ta)^2\,(tb)}{(ta)^2+(tb)^2}.
Desenvolvendo os fatores em potência de t,
f(ta,tb)=\frac{t^{3}a^{2}b}{t^{2}(a^{2}+b^{2})}.
Agora simplificamos t^{3}/t^{2}=t (válido para t\neq0):
f(ta,tb)=t\cdot\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.
Passo 4
Voltando ao limite da derivada direcional:
\frac{f(ta,tb)}{t}=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}
para todo t\neq0. Como essa expressão não depende de t, o limite t\to0 existe e vale exatamente esse valor. Portanto
D_{v}f(0,0)=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}},
válido para qualquer vetor v=(a,b) com a^{2}+b^{2}\neq0 (ou seja v\neq(0,0)).
Passo 5
Interpretação e exemplos rápidos (ajuda a lembrar na prova). Note que:
Se b=0 (direção ao longo do eixo x) então D_{v}f(0,0)=0.
Se a=0 (direção ao longo do eixo y) então D_{v}f(0,0)=0.
Para a=b=1 obtemos D_{(1,1)}f(0,0)=\dfrac{1^2\cdot1}{1^2+1^2}=\dfrac{1}{2}.
Esses exemplos servem para checar cálculos na prova e mostrar que as derivadas direcionais existem em todas as direções, mas não implicam automaticamente diferenciabilidade.
Passo 6
Continuidade: definir o que checar e analisar pontos. Para (x,y)\neq(0,0) a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} é razão de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em todos esses pontos. Resta verificar continuidade em (0,0): devemos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para isso, use uma desigualdade simples baseada na norma r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 7
Desigualdade e conclusão da continuidade. Observamos que |x|\le r e |y|\le r, então
|x^{2}y|\le |x|^{2}|y|\le r^{2}\cdot r=r^{3}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}=r^{2}, portanto
Se existem as derivadas parciais \partial_{x}f(0,0) e \partial_{y}f(0,0), a candidata natural é L(x,y)=\partial_{x}f(0,0)\,x+\partial_{y}f(0,0)\,y. Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) e testar se essa L funciona.
Passo 9
Cálculo das derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
Se esse limite for diferente de 0 então f não é diferenciável em (0,0). Vamos avaliar o limite ao longo de uma trajetória específica para verificar se é 0 ou não.
Passo 11
Contraexemplo por um caminho: escolha x=y=t com t\to0. Substituindo na fórmula de f (aqui peguei x e y iguais à informação da própria função),
um número constante diferente de zero. Como ao longo dessa trajetória a razão não tende a 0, o limite total quando (x,y)\to(0,0) não é 0. Portanto f não é diferenciável em (0,0).
Passo 12
Diferenciabilidade fora da origem. Para (x,y)\neq(0,0) a expressão de f é razão de funções polinomiais com denominador diferente de zero; essas funções são suaves (infinitamente diferenciáveis) nesses pontos. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Resposta
(a) \displaystyle D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.\n
(b) Sim. f é contínua em \mathbb{R}^{2}.\n
(c) f é diferenciável em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e não é diferenciável em (0,0).