Seja a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}
  1. (a) Calcule as derivadas direcionais de f no ponto (0,0) na direção do vetor v=(a, b; \operatorname{com} v \neq(0,0).
    (b) A função f é contínua em \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
    (c) A função f é diferenciável em \mathbb{R}^{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),\end{cases}
e pede três coisas:
  1. (a) Calcular as derivadas direcionais de f no ponto (0,0) na direção do vetor v=(a,b) com v\neq(0,0).
  2. (b) Verificar se f é contínua em \mathbb{R}^2 e justificar.
  3. (c) Verificar se f é diferenciável em \mathbb{R}^2 e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula de f quando (x,y)\neq(0,0).
  • O valor de f em (0,0) é 0.
  • A direção para as derivadas direcionais é um vetor genérico v=(a,b) não nulo.]

Passo 2

Definição e cálculo das derivadas direcionais. Lembra que a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor v=(a,b) (sem normalizar) é
D_{v}f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f\big((0,0)+t(a,b)\big)-f(0,0)}{t}.
Aqui f(0,0)=0, então precisamos do limite
\lim_{t\to 0}\frac{f(ta,tb)}{t}.
Agora calculamos f(ta,tb) usando a expressão de f para pontos diferentes de (0,0).

Passo 3

Cálculo direto de f(ta,tb). Substituindo,
f(ta,tb)=\frac{(ta)^2\,(tb)}{(ta)^2+(tb)^2}.
Desenvolvendo os fatores em potência de t,
f(ta,tb)=\frac{t^{3}a^{2}b}{t^{2}(a^{2}+b^{2})}.
Agora simplificamos t^{3}/t^{2}=t (válido para t\neq0):
f(ta,tb)=t\cdot\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Voltando ao limite da derivada direcional:
\frac{f(ta,tb)}{t}=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}
para todo t\neq0. Como essa expressão não depende de t, o limite t\to0 existe e vale exatamente esse valor. Portanto
D_{v}f(0,0)=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}},
válido para qualquer vetor v=(a,b) com a^{2}+b^{2}\neq0 (ou seja v\neq(0,0)).

Passo 5

Interpretação e exemplos rápidos (ajuda a lembrar na prova). Note que:
  • Se b=0 (direção ao longo do eixo x) então D_{v}f(0,0)=0.
  • Se a=0 (direção ao longo do eixo y) então D_{v}f(0,0)=0.
  • Para a=b=1 obtemos D_{(1,1)}f(0,0)=\dfrac{1^2\cdot1}{1^2+1^2}=\dfrac{1}{2}.
Esses exemplos servem para checar cálculos na prova e mostrar que as derivadas direcionais existem em todas as direções, mas não implicam automaticamente diferenciabilidade.

Passo 6

Continuidade: definir o que checar e analisar pontos. Para (x,y)\neq(0,0) a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} é razão de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em todos esses pontos. Resta verificar continuidade em (0,0): devemos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para isso, use uma desigualdade simples baseada na norma r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 7

Desigualdade e conclusão da continuidade. Observamos que |x|\le r e |y|\le r, então
|x^{2}y|\le |x|^{2}|y|\le r^{2}\cdot r=r^{3}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}=r^{2}, portanto
|f(x,y)|=\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le\frac{r^{3}}{r^{2}}=r.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que |f(x,y)|\to0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0) e, combinando com o caso anterior, f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 8

Diferenciabilidade: definição e estratégia. Uma função f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se existem as derivadas parciais \partial_{x}f(0,0) e \partial_{y}f(0,0), a candidata natural é L(x,y)=\partial_{x}f(0,0)\,x+\partial_{y}f(0,0)\,y. Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) e testar se essa L funciona.

Passo 9

Cálculo das derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
\partial_{x}f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0,
porque f(h,0)=\dfrac{h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0}=0.
Analogamente,
\partial_{y}f(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0}\frac{0}{k}=0.
Portanto a candidata linear é L(x,y)=0 (o mapa zero).

Passo 10

Testando diferenciabilidade em (0,0) com L=0. A condição de diferenciabilidade vira
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se esse limite for diferente de 0 então f não é diferenciável em (0,0). Vamos avaliar o limite ao longo de uma trajetória específica para verificar se é 0 ou não.

Passo 11

Contraexemplo por um caminho: escolha x=y=t com t\to0. Substituindo na fórmula de f (aqui peguei x e y iguais à informação da própria função),
f(t,t)=\frac{t^{2}\cdot t}{t^{2}+t^{2}}=\frac{t^{3}}{2t^{2}}=\frac{t}{2}.
A norma correspondente é \sqrt{t^{2}+t^{2}}=t\sqrt{2}. Assim
\frac{f(t,t)}{\sqrt{t^{2}+t^{2}}=\;t\sqrt{2}}=\frac{t/2}{t\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}},
um número constante diferente de zero. Como ao longo dessa trajetória a razão não tende a 0, o limite total quando (x,y)\to(0,0) não é 0. Portanto f não é diferenciável em (0,0).

Passo 12

Diferenciabilidade fora da origem. Para (x,y)\neq(0,0) a expressão de f é razão de funções polinomiais com denominador diferente de zero; essas funções são suaves (infinitamente diferenciáveis) nesses pontos. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

(a) \displaystyle D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.\n
(b) Sim. f é contínua em \mathbb{R}^{2}.\n
(c) f é diferenciável em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e não é diferenciável em (0,0).

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