Um fio carregando uma corrente de 2,0 \mathrm{~A} tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados iguais, cada um com 15 cm de comprimento. Um campo magnético uniforme de 0,7 T é paralelo à hipotenusa. A força magnética resultante nos dois lados iguais tem uma magnitude de:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad 0,51 \mathrm{~N}
◯ b. 0
◯ c. \quad 0,21 \mathrm{~N}
◯ d. \quad 0,30 \mathrm{~N}
◯ e. \quad 0,41 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado pede a magnitude da força magnética resultante nos dois lados iguais de um fio em forma de triângulo retângulo isósceles. Dados fornecidos:
  • Corrente: I=2{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Dois lados iguais (os catetos) têm comprimento 15\\ \mathrm{cm} cada, ou seja L=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Campo magnético uniforme: B=0{,}7\\ \mathrm{T}.
  • O campo magnético é paralelo à hipotenusa.
    Pergunta: qual é a magnitude da força magnética resultante sobre os dois lados iguais?

Passo 2

Fórmula física que vamos usar e o significado de cada símbolo:
  • Para um fio retilíneo com corrente, a força magnética sobre um segmento de comprimento (vetor) \vec{L} é \vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B}.
  • A magnitude dessa força é
F = I\,L\,B\,\sin\theta,
onde:
  • I é a corrente elétrica (em ampères),
  • L é o comprimento do segmento (em metros),
  • B é a intensidade do campo magnético (em tesla),
  • \theta é o ângulo entre a direção do segmento (vetor \vec{L}) e o vetor \vec{B}.
    Explicação intuitiva: a força é máxima quando o fio está perpendicular ao campo ( \sin 90^\circ=1) e zero quando o fio está paralelo ao campo ( \sin 0^\circ=0).

Passo 3

Determinar o ângulo entre cada cateto (lado igual) e o campo:
  • Num triângulo retângulo isósceles os catetos são perpendiculares entre si e a hipotenusa faz ângulo de 45^\circ com cada cateto.
  • Como o campo \vec{B} é paralelo à hipotenusa, o ângulo entre cada cateto e \vec{B} é
\theta = 45^\circ.

Passo 4

Calcular a magnitude da força magnética em um único cateto usando \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo:
F_{\text{um}} = I\,L\,B\,\sin 45^\circ = I\,L\,B\,\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora os números:
I=2{,}0,\quad L=0{,}15,\quad B=0{,}7,
F_{\text{um}} = 2{,}0\times 0{,}15\times 0{,}7\times\frac{\sqrt{2}}{2}.
Fazendo em etapas:
2{,}0\times 0{,}15 = 0{,}30,
0{,}30\times 0{,}7 = 0{,}21,
F_{\text{um}} = 0{,}21\times\frac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}21\times 0{,}7071\ldots \approx 0{,}1485\\ \mathrm{N}.
Portanto, cada cateto sofre uma força de magnitude aproximadamente 0{,}15\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a direção das forças e somar vetorialmente (por que o resultado pode ser nulo):
  • As forças em segmentos retilíneos aparecem na direção de \vec{L}\times\vec{B}. Aqui, o campo está no plano do triângulo (paralelo à hipotenusa) e os catetos também estão nesse plano. O produto vetorial de um vetor no plano com outro vetor no mesmo plano resulta em um vetor perpendicular ao plano (para cima ou para baixo).
  • Geometricamente, os dois catetos são perpendiculares entre si e fazem os mesmos ângulos com \vec{B}; portanto as magnitudes das forças em cada cateto são iguais (já calculadas).
  • Entretanto, as direções dessas forças são opostas (uma aponta para fora do plano e a outra para dentro do plano). Uma maneira clara de ver isso é escolher coordenadas: coloque o vértice do ângulo reto na origem, um cateto ao longo do eixo x e o outro ao longo do eixo y; o vetor \vec{B} paralelo à hipotenusa tem componentes iguais em x e y com sinais que fazem os produtos vetoriais darem sinais opostos. Calculando o produto vetorial para cada cateto obtém-se componentes em z de igual magnitude e sinais opostos, que se cancelam.
  • Logo, as forças sobre os dois catetos são iguais em magnitude e opostas em direção, de modo que a soma vetorial é zero.

Passo 6

Conclusão: a força magnética resultante nos dois lados iguais, depois de somar vetorialmente, tem magnitude nula porque as duas forças individuais se cancelam exatamente.

Resposta

b. \;0

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