Questão 2: Um eixo cilíndrico maciço com 5 m de comprimento e 145 mm de diâmetro, construído em aço ( rho=7815 kg / m^3 ; k=54 W /(m cdot K) ; c=458 J /(kg K) ) sai de um forno a temperatura uniforme de 110^circ C. O eixo então é resfriado na posição horizontal em um galpão com temperatura ambiente de Tinfty=35^circ C e coeficiente convectivo h=6 W /(m^2 K).
a) Calcule a temperatura na superfície do eixo, 75 minutos após o início do processo de resfriamento. (Despreze os efeitos da radiação na sua análise).
b) Se a radiação fosse considerada no processo de resfriamento, a temperatura determinada na letra a) ficaria maior, menor ou permaneceria inalterada no mesmo intervalo de tempo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento transitório de um cilindro maciço de aço inicialmente a 110^circC, exposto ao ar a 35^circC com convecção de coeficiente h=6:W/(m^2K). Como o cilindro é longo e de alta condutividade, vamos primeiro verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada (“lumped capacitance”), isto é, tratar a temperatura do sólido como uniforme e igual à da superfície.

Passo 2

Calculamos as dimensões geométricas, o volume e a área externa totais do cilindro:
o raio é R=0,145/2=0,0725:m e o comprimento L=5:m.
V = pi R^2 L = pi,(0,0725)^2 times 5 approx 0,08257:m^3,
A = Alateral + Aextremos = pi D L + 2pi R^2 = picdot0,145cdot5 + 2pi,(0,0725)^2 approx 2,311:m^2
O comprimento característico fica
Lc = VA approx 0,082572,311 approx 0,0357:m

Passo 3

Calculamos o número de Biot para verificar a validade do modelo lumped:
Bi = h,Lck = 6times0,035754 approx 0,0040 ;<;0,1,
logo podemos tratar a temperatura interna como uniforme e usar
T(t) = Tinfty + l(Ti - Tinftyr)exp!l(-h,Arho,V,c,tr)

Passo 4

Calculamos agora T(t) em t=75 min=4500:s. A massa térmica m c = rho,V,c é
rho V c = 7815times0,08257times458 approx 2,95times10^5:J/K,
e hA approx 6times2,311 =13,87:W/K.
O argumento do expoente é
hArho V c,t = 13,872,95times10^5times4500 approx 0,211
Portanto
T(4500) = 35 + (110-35),e^-0,211 approx 35 + 75times0,810 approx 95,7^circC

Passo 5

Se incluíssemos a radiação, teríamos um fluxo adicional de calor qrm rad= varepsilonsigmal(T^4 - Tinfty^4r) que se soma à convecção. Isso aumenta a perda térmica líquida e, no mesmo intervalo de tempo, o eixo alcançaria uma temperatura ainda mais baixa do que no cálculo sem radiação.

Resposta

a) Trm superfície(75:min)approx95,7^circCí
b) Considerando radiação, a temperatura ficaria menor, pois haveria maior taxa de perda de calor.

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