Um fio de cobre, de formato cilíndrico, possui comprimento de 20 km e diâmetro de 2 mm . Sabendo que a resistividade do cobre é \rho_{C u}=1,68 \times 10^{-8} m \cdot \Omega, calcule a condutância desse fio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Comprimento do fio: L=20\\ \mathrm{km}.
  • Diâmetro do fio: d=2\\ \mathrm{mm}.
  • Resistividade do cobre: \rho_{Cu}=1,68\times10^{-8}\\ \mathrm{\Omega\cdot m} (o enunciado escreveu a unidade como m\cdot\Omega, que é equivalente a \mathrm{\Omega\cdot m}).
  • O que é pedido: a condutância do fio (ou seja, G, em siemens \mathrm{S}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Resistência elétrica de um fio homogêneo cilíndrico:
R=\frac{\rho\,L}{A},
onde
  • \rho é a resistividade do material (unidade \mathrm{\Omega\cdot m}),
  • L é o comprimento do fio (m),
  • A é a área da seção transversal do fio (m ^2).
  • Condutância é o inverso da resistência:
G=\frac{1}{R}.
Unidade de G é o siemens \mathrm{S} (antes chamado “mho”).
  • Área da seção transversal de um cilindro (círculo):
A=\pi r^{2},
onde r é o raio (m). Como nos deram o diâmetro d, tem-se r=d/2.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com as conversões de unidades.

Passo 3

Conversões e cálculo do raio e da área:
  • Converter comprimento para metros:
L=20\\ \mathrm{km}=20\times10^{3}\\ \mathrm{m}=20000\\ \mathrm{m}.
  • Converter diâmetro para metros e calcular raio:
d=2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad r=\frac{d}{2}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a área da seção transversal:
A=\pi r^{2}=\pi\,(1\times10^{-3})^{2}=\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Se for necessário um valor numérico aproximado,
A\approx 3{,}14159265\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a resistência R usando \;R=\dfrac{\rho L}{A}:
Substituindo os valores em notação científica:
\rho L = (1{,}68\times10^{-8})\times(2{,}0\times10^{4}) = 1{,}68\times2{,}0\times10^{-8+4}=3{,}36\times10^{-4}.
Portanto
R=\frac{3{,}36\times10^{-4}}{\pi\times10^{-6}}=\frac{3{,}36}{\pi}\times10^{-4+6}=\frac{3{,}36}{\pi}\times10^{2}.
Agora calcular numericamente \dfrac{3{,}36}{\pi}:
\frac{3{,}36}{\pi}\approx\frac{3{,}36}{3{,}14159265}\approx1{,}0693\ldots
Logo
R\approx1{,}0693\times10^{2}\\ \mathrm{\Omega}\approx106{,}93\\ \mathrm{\Omega}.
(Arredondando de forma prática: R\approx107\\ \mathrm{\Omega}.)

Passo 5

Calcular a condutância G=\dfrac{1}{R}:
Usando o valor mais preciso obtido:
G=\frac{1}{106{,}93}\\ \mathrm{S}\approx0{,}0093539\\ \mathrm{S}.
Podemos também expressar em mili-Siemens (mS), lembrando 1\\ \mathrm{mS}=10^{-3}\\ \mathrm{S}:
G\approx9{,}3539\\ \mathrm{mS}\approx9{,}35\\ \mathrm{mS}.

Passo 6

Verificação rápida de ordem de grandeza (cheque mental): resistência de cerca de 100\\ \Omega para 20 km de fio fino faz sentido — fio longo e área pequena implica resistência relativamente alta; condutância bem pequena (ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{S}) também faz sentido.

Resposta

G\approx0,00935\\ \mathrm{S}=9,35\\ \mathrm{mS}

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