Um fio de cobre, com uma seção transversal circular, possui comprimento de 20 km e diâmetro de 2 mm . Sabendo que a resistividade do cobre é \rho_{C u}=1,68 \times 10^{-8} \mathrm{~m} \cdot \Omega. Calcule a resistência elétrica desse fio.

Passo 1

O que o exercício pede e quais dados temos (vou listar direitinho):
  • Pedido: calcular a resistência elétrica do fio.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do fio: L=20\\ \text{km}.
    • Diâmetro da seção transversal: d=2\\ \text{mm}.
    • Resistividade do cobre: \rho_{Cu}=1,68\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\cdot\Omega.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rápida):
  • A resistência elétrica de um fio homogêneo de comprimento L e área de seção transversal A é dada por
R=\rho\frac{L}{A}.
  • Aqui:
    • \rho é a resistividade do material (no nosso caso, cobre).
    • L é o comprimento do fio.
    • A é a área da seção transversal.
  • Explicando: resistividade \rho é uma medida de quanto o material “resiste” ao fluxo de corrente; quanto maior \rho ou maior L, maior a resistência; quanto maior a área A, menor a resistência (mais espaço para os elétrons passarem).

Passo 3

Converter todas as unidades para o Sistema Internacional (m, m^2, \Omega):
  • Comprimento:
L = 20\\ \text{km} = 20\times10^{3}\\ \text{m} = 20{,}000\\ \text{m}.
  • Diâmetro:
d = 2\\ \text{mm} = 2\times10^{-3}\\ \text{m} = 0{,}002\\ \text{m}.
  • Raio (metade do diâmetro):
r=\frac{d}{2}=\frac{0{,}002}{2}=0{,}001\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a área da seção transversal (círculo) e explicar a fórmula:
  • Para uma seção circular a área é
A=\pi r^{2},
onde r é o raio.
  • Substituindo r=0{,}001\\ \text{m}:
A=\pi(0{,}001)^{2}=\pi\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}.
  • Para fixar a ideia: (0{,}001)^{2}=10^{-6}, e multiplicamos por \pi.

Passo 5

Montar a expressão para R com os valores simbólicos:
R=\rho\frac{L}{A} = \rho\frac{L}{\pi r^{2}}.
Agora substituir \rho=\;1,68\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\cdot\Omega, L=20{,}000\\ \text{m} e r^{2}=10^{-6}\\ \text{m}^{2}:
R=\frac{1,68\times10^{-8}\times20{,}000}{\pi\times10^{-6}}.

Passo 6

Fazer as contas intermediárias passo a passo (sem ainda repetir a resposta final fora da seção indicada):
  • Calcular o numerador:
1,68\times10^{-8}\times20{,}000 = 1,68\times10^{-8}\times2\times10^{4}=3,36\times10^{-4}.
  • O denominador já temos:
\pi\times10^{-6}\approx3{,}14159265\times10^{-6}.
  • Portanto chegamos à divisão
R=\frac{3,36\times10^{-4}}{3{,}14159265\times10^{-6}}.
  • Essa divisão fornece o valor numérico da resistência; o procedimento foi explicado e os passos algébricos e de unidade conferidos.

Resposta

R\approx106{,}9\\ \Omega

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