Questão 10. Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^1 / 2 x^2 e^-x^2 d x (| erro |<0,001)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = integral0^1/2 x^2e^-x^2,dx
com erro menor que 0,001, usando séries de Taylor. Vamos expandir e^-x^2, multiplicar por x^2, integrar termo a termo e usar o critério da série alternada para controlar o erro.

Passo 2

A expansão de Taylor de e^-x^2 em torno de 0 é
e^-x^2 = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^2n
Multiplicando por x^2 obtém-se
x^2e^-x^2 = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^2n+2

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a 1/2:
I = integral0^1/2 x^2e^-x^2,dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^1/2 x^2n+2,dx = sumn=0^infty (-1)^nn!,(1/2)^2n+32n+3
Chamando
an = (-1)^nn!,(1/2)^2n+32n+3,
temos I = sumn=0^inftyan, que é uma série alternada.

Passo 4

Pelo teste da série alternada, o erro ao parar em n=N é no máximo |aN+1|. Calculamos os primeiros termos numéricos:
a0 = 10!,(1/2)^33 = 124approx0,041667,
a1 = -,11!,(1/2)^55 = -1160approx-0,00625,
a2 = 12!,(1/2)^77 = 12cdot128cdot7=11792approx0,000558
Como |a2|approx0,000558<0,001, basta usar N=1 (dois termos) para garantir o erro exigido.

Passo 5

A soma parcial até n=1 é
S1 = a0+a1 = 124 - 1160 = 20-3480 = 17480approx0,035417
O erro está limitado por |a2|approx0,000558<0,001.

Resposta

integral0^1/2 x^2e^-x^2,dx approx 0,0354 (erro<0,001)

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