Um fio de comprimento \ell, percorrido por uma corrente I, é dobrado e convertido em uma bobina circular de raio R, sendo submetido a um campo magnético uniforme \vec{B}. Em geral, o fio pode ser dobrado circularmente por um dado número de voltas N, de forma a obter uma bobina com N espiras circulares de mesmo raio R. Se o torque que o campo exerce sobre essa bobina é o maior possível, determine (i) o ângulo \theta entre \vec{B} e o momento de dipolo magnético da bobina; (ii) o número N de espiras consistente com o valor máximo do torque; (iii) o módulo do torque.

Passo 1

O enunciado diz que temos um fio de comprimento \ell percorrido por corrente I que é enrolado em N espiras circulares de raio R em um campo magnético uniforme \vec B. O conteúdo envolvido é o torque magnético sobre uma bobina:
– O momento de dipolo magnético vale \displaystyle \vec\mu = N I A\,\hat n, onde A=\pi R^2 e \hat n é o eixo da bobina.
– O torque tem módulo \displaystyle \tau = \bigl|\vec\mu\times\vec B\bigr| = \mu\,B\,\sin\theta.
Queremos escolher o ângulo \theta e o número de espiras N que maximizem \tau, e então calcular esse valor máximo de \tau.

Passo 2

Escrevemos explicitamente \mu e \tau:
\mu = N\,I\,A = N\,I\,\pi R^2,
\tau = \mu\,B\,\sin\theta = N\,I\,\pi R^2\,B\,\sin\theta.

Passo 3

Para maximizar \tau em relação ao ângulo \theta, observamos que \sin\theta atinge valor máximo quando \sin\theta=1. Logo, o ângulo entre \vec B e \vec\mu deve ser
\theta = 90^\circ.

Passo 4

Como o comprimento total do fio é \ell, temos a restrição
N\,(2\pi R)\;\le\;\ell.
O torque cresce linearmente com N, então ele é máximo quando usamos todo o fio, ou seja
N = \frac{\ell}{2\pi R}.

Passo 5

Substituindo \theta=90^\circ (portanto \sin\theta=1) e N=\frac{\ell}{2\pi R} na expressão de \tau, obtemos
\tau_{\text{max}} = \Bigl(\frac{\ell}{2\pi R}\Bigr)\,I\,\pi R^2\,B = \frac{\ell\,I\,R\,B}{2}.

Resposta

(i) \theta=90^\circ
(ii) N=\displaystyle \frac{\ell}{2\pi R}
(iii) \tau_{\text{max}}=\displaystyle \frac{\ell\,I\,R\,B}{2}

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