As placas de um capacitor plano de capacitância C, preenchido com um dielétrico de constante dielétrica \kappa, estão ligadas aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma diferença de potencial V. O dielétrico tem uma condutividade \sigma, o que produz uma corrente de perda. (i) Calcule a resistência R do dielétrico como função de C, \sigma e \kappa. (ii) Mostre que o resultado permanece válido para um capacitor cilíndrico ou esférico. É possível generalizar este resultado mostrando a independência da geometria?

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor plano cujas placas estão separadas por um dielétrico de constante \kappa e condutividade \sigma, ligado a uma bateria que mantém nele uma diferença de potencial V. Queremos calcular a resistência efetiva R do dielétrico em função da capacitância C, de \sigma e de \kappa.

Passo 2

Para o capacitor plano de área A e distância entre placas d, o campo elétrico uniforme vale
E = \frac{V}{d}.
Pela lei de Ohm volumétrica, a densidade de corrente é
J = \sigma\,E = \sigma\,\frac{V}{d}.
Como a corrente total é I = J\,A, obtemos
I = \sigma\,\frac{V}{d}\,A.
Logo, a resistência R = V/I é
R = \frac{V}{I} = \frac{V}{\sigma\,\frac{V}{d}\,A} = \frac{d}{\sigma\,A}.

Passo 3

Sabendo que a capacitância do capacitor plano preenchido pelo dielétrico é
C = \kappa\,\varepsilon_0\,\frac{A}{d},
podemos escrever
\frac{A}{d} = \frac{C}{\kappa\,\varepsilon_0}.
Substituindo em R = d/(\sigma A)
R = \frac{1}{\sigma}\,\frac{d}{A} = \frac{1}{\sigma}\,\frac{1}{(A/d)} = \frac{1}{\sigma}\,\frac{\kappa\,\varepsilon_0}{C} = \frac{\kappa\,\varepsilon_0}{\sigma\,C}.

Passo 4

Para mostrar que o resultado vale também em geometrias cilíndrica ou esférica, basta repetir o cálculo em forma diferencial. Por exemplo, num capacitor cilíndrico de comprimento L e raios interno a, externo b:
R = \int_a^b \frac{dr}{\sigma\,2\pi r L} = \frac{1}{\sigma\,2\pi L}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr),
C = \frac{2\pi\,\kappa\,\varepsilon_0\,L}{\ln\!\bigl(b/a\bigr)}.
Multiplicando,
R\,C = \frac{1}{\sigma\,2\pi L}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr) \;\times\; \frac{2\pi\,\kappa\,\varepsilon_0\,L}{\ln\!\bigl(b/a\bigr)} = \frac{\kappa\,\varepsilon_0}{\sigma},
o que implica novamente
R = \frac{\kappa\,\varepsilon_0}{\sigma\,C}.
O mesmo raciocínio vale para o caso esférico, usando R=\int dr/(\sigma\,4\pi r^2) e C=4\pi\kappa\varepsilon_0/(1/a-1/b).

Passo 5

O que garante essa independência de geometria é que tanto o cálculo de resistência (integração de dl/A) quanto o de capacitância (integração de 1/( \varepsilon\,A)\,dl) levam a integrais que se anulam ao formar o produto R\,C, deixando apenas \kappa\,\varepsilon_0/\sigma. Isso acontece sempre que a condutividade e a permissividade sejam homogêneas no volume do dielétrico.

Resposta

(i) R = \frac{\kappa \varepsilon_0}{\sigma C}.\n(ii) O resultado continua válido para capacitor cilíndrico ou esférico pelo mesmo argumento das integrais diferenciais, e em geral é independente da geometria sempre que o meio dielétrico seja homogêneo.

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