As placas de um capacitor plano de capacitância
, preenchido com um dielétrico de constante dielétrica
, estão ligadas aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma diferença de potencial
. O dielétrico tem uma condutividade
, o que produz uma corrente de perda. (i) Calcule a resistência
do dielétrico como função de
e
. (ii) Mostre que o resultado permanece válido para um capacitor cilíndrico ou esférico. É possível generalizar este resultado mostrando a independência da geometria?
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor plano cujas placas estão separadas por um dielétrico de constante
e condutividade
, ligado a uma bateria que mantém nele uma diferença de potencial
. Queremos calcular a resistência efetiva
do dielétrico em função da capacitância
, de
e de
.
Passo 2
Para o capacitor plano de área
e distância entre placas
, o campo elétrico uniforme vale
Pela lei de Ohm volumétrica, a densidade de corrente é
Como a corrente total é
, obtemos
Logo, a resistência
é
Passo 3
Sabendo que a capacitância do capacitor plano preenchido pelo dielétrico é
podemos escrever
Substituindo em
dá
Passo 4
Para mostrar que o resultado vale também em geometrias cilíndrica ou esférica, basta repetir o cálculo em forma diferencial. Por exemplo, num capacitor cilíndrico de comprimento
e raios interno
, externo
:
Multiplicando,
o que implica novamente
O mesmo raciocínio vale para o caso esférico, usando
e
.
Passo 5
O que garante essa independência de geometria é que tanto o cálculo de resistência (integração de
) quanto o de capacitância (integração de
) levam a integrais que se anulam ao formar o produto
, deixando apenas
. Isso acontece sempre que a condutividade e a permissividade sejam homogêneas no volume do dielétrico.
Resposta
(i)
.\n(ii) O resultado continua válido para capacitor cilíndrico ou esférico pelo mesmo argumento das integrais diferenciais, e em geral é independente da geometria sempre que o meio dielétrico seja homogêneo.