Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de uma circunferência e de um quadrado. Se x é o lado do quadrado, expresse a área total A englobada pelas duas figuras como função de x. Qual o domínio de A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de comprimento L que é cortado em duas partes: uma forma um círculo e a outra forma um quadrado. O que a gente precisa fazer é descobrir como calcular a área total das duas figuras em função do lado do quadrado, que é x. Para isso, vamos usar conceitos de perímetro e área de figuras geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o fio é dividido. O fio total tem comprimento L, então se uma parte forma o quadrado e a outra o círculo, o perímetro do quadrado será 4x (porque um quadrado tem 4 lados iguais). O restante do fio, que é L - 4x, será usado para formar o círculo.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o comprimento do fio com o perímetro das figuras. Para o círculo, o perímetro é igual ao comprimento da circunferência, que é 2pi r, onde r é o raio. Então temos:
2pi r = L - 4x
A gente pode resolver essa equação para encontrar o raio r:
r = L - 4x2pi

Passo 4

Com o raio r determinado, podemos calcular a área do círculo. A fórmula da área do círculo é Acírculo = pi r^2í. Substituindo r na fórmula, temos:
Acírculo = pi (L - 4x2pi)^2 í
Vamos simplificar essa expressão:
Acírculo = pi cdot (L - 4x)^24pi^2 = (L - 4x)^24pi í

Passo 5

Agora, vamos calcular a área do quadrado. A área do quadrado é simplesmente o lado ao quadrado:
Aquadrado = x^2

Passo 6

A área total A englobada pelas duas figuras é a soma das áreas do círculo e do quadrado:
A = Acírculo + Aquadrado = (L - 4x)^24pi + x^2 í

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio de A, ou seja, os valores de x para os quais essa função faz sentido. Primeiro, como x é o lado do quadrado, ele tem que ser positivo:
x > 0
Além disso, a parte do fio que forma o círculo também precisa ter comprimento positivo, então:
L - 4x > 0 Rightarrow x < L4
Então, juntando as duas condições:
0 < x < L4

Resposta

A área total A em função de x é:
A(x) = (L - 4x)^24pi + x^2
E o domínio de A é:
0 < x < L4

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