Um fio de comprimento
é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de uma circunferência e de um quadrado. Se
é o lado do quadrado, expresse a área total
englobada pelas duas figuras como função de
. Qual o domínio de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de comprimento
que é cortado em duas partes: uma forma um círculo e a outra forma um quadrado. O que a gente precisa fazer é descobrir como calcular a área total das duas figuras em função do lado do quadrado, que é
. Para isso, vamos usar conceitos de perímetro e área de figuras geométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o fio é dividido. O fio total tem comprimento
, então se uma parte forma o quadrado e a outra o círculo, o perímetro do quadrado será
(porque um quadrado tem 4 lados iguais). O restante do fio, que é
, será usado para formar o círculo.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o comprimento do fio com o perímetro das figuras. Para o círculo, o perímetro é igual ao comprimento da circunferência, que é
, onde
é o raio. Então temos:
A gente pode resolver essa equação para encontrar o raio
:
Passo 4
Com o raio
determinado, podemos calcular a área do círculo. A fórmula da área do círculo é
. Substituindo
na fórmula, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área do quadrado. A área do quadrado é simplesmente o lado ao quadrado:
Passo 6
A área total
englobada pelas duas figuras é a soma das áreas do círculo e do quadrado:
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio de
, ou seja, os valores de
para os quais essa função faz sentido. Primeiro, como
é o lado do quadrado, ele tem que ser positivo:
Além disso, a parte do fio que forma o círculo também precisa ter comprimento positivo, então:
Então, juntando as duas condições:
Resposta
A área total
em função de
é:
E o domínio de
é: