Resolva utilizando séries de potências.
, quando o ponto ordinário for
.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO
por meio de séries de potências em torno de
. O conteúdo aqui é solução de EDO linear de 2ª ordem com coeficiente analítico, usando expansão em série de potências.
Passo 2
A ideia é assumir
de onde
Também expandimos
Passo 3
Substituindo na EDO temos
Alinhando potências
e somando em
dá a condição para todo
:
Passo 4
Agora tomamos
e
arbitrários (constantes de integração) e calculamos alguns
:
- Para
:
⇒ . - Para
:
⇒ . - Para
:
⇒ . - Para
:
⇒ .
Passo 5
Reagrupando a série de
até a 5ª ordem, com
e
, fica
Passo 6
Pronto! Essa é a solução geral em série de potências em torno de
, com duas constantes
.
Resposta
y(x)=C_1 + C_2\Bigl(x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} - \tfrac{x^5}{40}+\cdots\Bigr)