Resolva utilizando séries de potências.
y^prime prime+(cos (x)) y^prime=0, quando o ponto ordinário for x0=0.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO
y'' + cos(x),y' = 0
por meio de séries de potências em torno de x0=0. O conteúdo aqui é solução de EDO linear de 2ª ordem com coeficiente analítico, usando expansão em série de potências.

Passo 2

A ideia é assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
de onde
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n, y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Também expandimos
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k)!x^2k

Passo 3

Substituindo na EDO temos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n +l(sumk=0^infty(-1)^k(2k)!x^2kr) l(summ=0^infty(m+1)am+1x^mr)=0
Alinhando potências x^N e somando em n+2k=N dá a condição para todo N>=0:
(N+2)(N+1)aN+2;+ sumk=0^lfloor N/2rfloor(-1)^k(2k)!,(N-2k+1)aN-2k+1=0

Passo 4

Agora tomamos a0 e a1 arbitrários (constantes de integração) e calculamos alguns an:
  • Para N=0:
    2a2 + 1cdot a1=0 a2=-tfraca12.
  • Para N=1:
    6a3 + 2a2=0 a3=-tfrac2a26=tfraca16.
  • Para N=2:
    12a4 +3a3 -tfraca12=0 a4=0.
  • Para N=3:
    20a5 +4a4 -a2=0 a5=tfraca220=-tfraca140.

Passo 5

Reagrupando a série de y(x) até a 5ª ordem, com C1=a0 e C2=a1, fica
y(x)=C1 + C2l(x - tfracx^22 + tfracx^36 + 0,x^4 - tfracx^540+cdotsr)

Passo 6

Pronto! Essa é a solução geral em série de potências em torno de 0, com duas constantes C1,C2.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2\Bigl(x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} - \tfrac{x^5}{40}+\cdots\Bigr)

Exercícios relacionados