Dois alto-falantes, A e B, são alimentados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase. A frequência das ondas emitidas por cada um dos alto-falantes é 860 Hz . O ponto P está a 12,0 \mathrm{~m} do alto-falantes A e a 13,4 \mathrm{~m} do alto-falante B . A interferência em P é construtiva ou destrutiva? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a interferência em P é construtiva ou destrutiva e justificar por quê.
Dados fornecidos:
  • as duas fontes emitem ondas senoidais em fase (mesma fase inicial);
  • frequência das ondas: 860\\ \mathrm{Hz};
  • distância do ponto P ao alto‑falante A: 12,0\\ \mathrm{m};
  • distância do ponto P ao alto‑falante B: 13,4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a diferença de percurso entre as ondas que chegam a P (distância extra que a onda de B percorre em relação à de A).
A diferença de percurso é
\Delta = 13,4\\ \mathrm{m} - 12,0\\ \mathrm{m} = 1,4\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para relacionar diferença de percurso com interferência precisamos da comprimento de onda \lambda. Usamos a relação
\lambda = \frac{v}{f},
onde v é a velocidade do som no ar e f é a frequência. Vou assumir a velocidade típica do som no ar em condições ambientes como v=340\\ \mathrm{m/s} (se você usar v=343\\ \mathrm{m/s} o resultado final não muda qualitativamente, eu comento isso adiante).

Passo 4

Calcular o comprimento de onda com v=340\\ \mathrm{m/s} e f=860\\ \mathrm{Hz}:
\lambda = \frac{340}{860}\\ \mathrm{m} \approx 0,395\\ \mathrm{m}.
Aqui expliquei a fórmula: \lambda é a distância que a onda percorre durante um período; v é quão rápido a onda viaja (m/s) e f é quantos ciclos por segundo (Hz). Dividindo velocidade pela frequência obtemos metros por ciclo = comprimento de onda.

Passo 5

Determinar quantas vezes o comprimento de onda cabe na diferença de percurso:
\frac{\Delta}{\lambda} = \frac{1,4}{0,395} \approx 3,54.
Isto significa que a onda de B chega ao ponto P percorrendo cerca de 3,54 comprimentos de onda a mais do que a onda de A.

Passo 6

Lembrar as condições de interferência quando as fontes estão em fase:
  • Interferência construtiva (máximo) ocorre se \Delta = n\lambda, com n inteiro (diferença de percurso é um número inteiro de comprimentos de onda).
  • Interferência destrutiva (mínimo) ocorre se \Delta = \left(n+\tfrac{1}{2}\right)\lambda, ou seja, um número meio‑inteiro de comprimentos de onda (meio comprimento de onda de diferença gera fase oposta).
No nosso caso \Delta/\lambda \approx 3,54, que está bem próximo de 3,5 (isto é 3+\tfrac{1}{2}). Logo a diferença de percurso é aproximadamente 3{,}5\lambda, ou seja, um número meio‑inteiro de comprimentos de onda — condição de interferência destrutiva.

Passo 7

Para quantificar o quão “próximo” estamos do caso ideal, calculamos a diferença em comprimento de onda:
\frac{\Delta}{\lambda}-3{,}5 \approx 3{,}5439-3{,}5 \approx 0{,}044.
Isso corresponde a uma discrepância de cerca de 0{,}044\lambda \approx 0{,}017\\ \mathrm{m} (≈ 1{,}7\\ \mathrm{cm}). Em termos de fase, a diferença de fase entre as ondas é
\varphi = 2\pi\frac{\Delta}{\lambda}\approx 2\pi\cdot 3{,}5439,
que reduzido módulo 2\pi dá um valor próximo de \pi (fase oposta). Ou seja, P terá praticamente anulação (destrutiva) — pode não ser anulação perfeita por causa da pequena discrepância, mas é quase mínimo.

Passo 8

Observação de robustez: se em vez de v=340\\ \mathrm{m/s} usássemos v=343\\ \mathrm{m/s} (outra escolha comum), teríamos \lambda\approx 0,399\\ \mathrm{m} e
\frac{\Delta}{\lambda}\approx 3{,}51,
ainda muito próximo de 3{,}5. Portanto a conclusão de interferência destrutiva é robusta frente a pequenas variações na velocidade do som.

Resposta

Destrutiva.

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