Um fio cônico (com diâmetro variando linearmente) de cobre (condutividade térmica 390 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} tem 1 m de comprimento. Uma extremidade tem um raio de 0,002 \mathrm{~m} e a outra extremidade tem um raio de 0,004 m Se as temperaturas nas extremidades menor e maior são mantidas em 100^{\circ} \mathrm{C} e 30^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, determine a taxa de fluxo de calor (potência térmica) ao longo do fio.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de fluxo de calor (potência térmica) ao longo de um fio cônico de cobre com comprimento 1\\ \mathrm{m}, sabendo que as temperaturas nas extremidades menor e maior são mantidas em 100^\circ\mathrm{C} e 30^\circ\mathrm{C}, respectivamente. Dados fornecidos:
k=390\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}} (condutividade térmica do cobre)
comprimento L=1\\ \mathrm{m}
raio na extremidade menor r_1=0,002\\ \mathrm{m} (temperatura T_1=100^\circ\mathrm{C})
raio na extremidade maior r_2=0,004\\ \mathrm{m} (temperatura T_2=30^\circ\mathrm{C})
O que é pedido: calcular a taxa de fluxo de calor Q (potência térmica) que passa do lado quente para o lado frio, em regime estacionário.

Passo 2

Conceito essencial (mini-aula): condução unidimensional em regime estacionário.
Em regime estacionário, sem geração interna de calor, a taxa de calor Q que atravessa qualquer seção transversal é constante ao longo do fio. A lei de Fourier em 1D relaciona fluxo de calor e gradiente de temperatura:
Q = -k\,A(x)\,\frac{dT}{dx},
onde k é a condutividade térmica, A(x) a área da seção transversal em posição x, e dT/dx o gradiente de temperatura. O sinal negativo indica que o calor flui da região de maior temperatura para a de menor temperatura.

Passo 3

Como Q é constante, podemos reescrever a equação e integrar para relacionar as temperaturas nas extremidades:
\frac{dT}{dx} = -\frac{Q}{k\,A(x)}.
Integramos de x=0 (extremidade com T_1) até x=L (extremidade com T_2):
T_2 - T_1 = -\frac{Q}{k}\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)}.
Rearranjando para Q:
Q = k\frac{T_1-T_2}{\displaystyle\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)}}.
Esta é a fórmula básica que vamos usar: a taxa de calor é proporcional à diferença de temperatura e inversamente à integral de 1/A(x) ao longo do comprimento.

Passo 4

Geometria do fio cônico (mini-aula): o fio tem raio que varia linearmente com x. Se tomarmos x=0 na extremidade menor e x=L na extremidade maior, então o raio em função de x é
r(x)=r_1 + a x,
com
a=\frac{r_2-r_1}{L}.
A área da seção transversal é
A(x)=\pi [r(x)]^2 = \pi\big(r_1 + a x\big)^2.
Vamos usar essa expressão dentro da integral \int_0^L \frac{dx}{A(x)}.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)}. Substituindo A(x):
\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)} = \int_{0}^{L}\frac{dx}{\pi\big(r_1 + a x\big)^2} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{L}\frac{dx}{\big(r_1 + a x\big)^2}.
Para integrar \int \frac{dx}{(r_1 + a x)^2} use a substituição u = r_1 + a x, então du = a\,dx e dx = du/a. Os limites: quando x=0, u=r_1; quando x=L, u=r_2. Assim
\int_{0}^{L}\frac{dx}{(r_1 + a x)^2} = \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{u^2}\cdot\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\left[-\frac{1}{u}\right]_{r_1}^{r_2} = \frac{1}{a}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).
Portanto
\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)} = \frac{1}{\pi a}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).

Passo 6

Simplificação algébrica (muito útil para prova): lembrar que a=(r_2-r_1)/L, então 1/a = L/(r_2-r_1). Substituindo:
\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)} = \frac{L}{\pi(r_2-r_1)}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).
Colocando termos sobre um denominador comum:
\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} = \frac{r_2-r_1}{r_1 r_2}.
Logo a expressão fica
\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)} = \frac{L}{\pi(r_2-r_1)}\cdot\frac{r_2-r_1}{r_1 r_2} = \frac{L}{\pi r_1 r_2}.
Isso é uma simplificação bonita: a integral de 1/A(x) ao longo do cone resulta em \displaystyle\frac{L}{\pi r_1 r_2}.

Passo 7

Agora voltar à fórmula para Q:
Q = k\frac{T_1-T_2}{\displaystyle\int_{0}^{L}\frac{dx}{A(x)}} = k\frac{T_1-T_2}{\dfrac{L}{\pi r_1 r_2}} = k\frac{\pi r_1 r_2}{L}(T_1-T_2).
Substituímos os valores fornecidos (sem arredondar o resultado final nesta etapa):
Q = \frac{390\cdot\pi\cdot 0,002\cdot 0,004}{1}\cdot(100-30).

Passo 8

Interpretação do sinal e unidades (mini-aula final): aqui T_1-T_2=70\\ \mathrm{K} e a expressão dá Q>0, o que significa fluxo de calor da extremidade quente ( 100^\circ\mathrm{C}) para a fria ( 30^\circ\mathrm{C}). A unidade resultante é watt ( \mathrm{W}), pois k está em \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, as distâncias em metros e temperatura em kelvin (diferença em kelvin é numericamente igual a diferença em graus Celsius).

Resposta

Q = 0,686\\ \mathrm{W}

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