Um fio cônico (com diâmetro variando linearmente) de cobre (condutividade térmica
tem 1 m de comprimento. Uma extremidade tem um raio de
e a outra extremidade tem um raio de
Se as temperaturas nas extremidades menor e maior são mantidas em
e
, respectivamente, determine a taxa de fluxo de calor (potência térmica) ao longo do fio.
Passo 1
O enunciado pede a taxa de fluxo de calor (potência térmica) ao longo de um fio cônico de cobre com comprimento
, sabendo que as temperaturas nas extremidades menor e maior são mantidas em
e
, respectivamente. Dados fornecidos:
(condutividade térmica do cobre)
comprimento
raio na extremidade menor (temperatura
)
raio na extremidade maior (temperatura
)
comprimento
raio na extremidade menor
raio na extremidade maior
O que é pedido: calcular a taxa de fluxo de calor
(potência térmica) que passa do lado quente para o lado frio, em regime estacionário.
Passo 2
Conceito essencial (mini-aula): condução unidimensional em regime estacionário.
Em regime estacionário, sem geração interna de calor, a taxa de calor que atravessa qualquer seção transversal é constante ao longo do fio. A lei de Fourier em 1D relaciona fluxo de calor e gradiente de temperatura:
Em regime estacionário, sem geração interna de calor, a taxa de calor
onde
é a condutividade térmica,
a área da seção transversal em posição
, e
o gradiente de temperatura. O sinal negativo indica que o calor flui da região de maior temperatura para a de menor temperatura.
Passo 3
Como
é constante, podemos reescrever a equação e integrar para relacionar as temperaturas nas extremidades:
Integramos de
(extremidade com
) até
(extremidade com
):
Rearranjando para
:
Esta é a fórmula básica que vamos usar: a taxa de calor é proporcional à diferença de temperatura e inversamente à integral de
ao longo do comprimento.
Passo 4
Geometria do fio cônico (mini-aula): o fio tem raio que varia linearmente com
. Se tomarmos
na extremidade menor e
na extremidade maior, então o raio em função de
é
com
A área da seção transversal é
Vamos usar essa expressão dentro da integral
.
Passo 5
Calcular a integral
. Substituindo
:
Para integrar
use a substituição
, então
e
. Os limites: quando
,
; quando
,
. Assim
Portanto
Passo 6
Simplificação algébrica (muito útil para prova): lembrar que
, então
. Substituindo:
Colocando termos sobre um denominador comum:
Logo a expressão fica
Isso é uma simplificação bonita: a integral de
ao longo do cone resulta em
.
Passo 7
Agora voltar à fórmula para
:
Substituímos os valores fornecidos (sem arredondar o resultado final nesta etapa):
Passo 8
Interpretação do sinal e unidades (mini-aula final): aqui
e a expressão dá
, o que significa fluxo de calor da extremidade quente (
) para a fria (
). A unidade resultante é watt (
), pois
está em
, as distâncias em metros e temperatura em kelvin (diferença em kelvin é numericamente igual a diferença em graus Celsius).