Existe uma temperatura na qual a leitura na escala Celsius é o dobro da leitura na escala Fahrenheit? Caso afirmativo, determine essa temperatura nas duas escalas.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma temperatura tal que a leitura na escala Celsius seja o dobro da leitura na escala Fahrenheit. Ou seja, queremos saber se existe uma temperatura em que, para as leituras
(graus Celsius) e
(graus Fahrenheit) medindo a mesma temperatura física, vale
A tarefa é: (1) verificar se isso é possível e (2) determinar essa temperatura expressa nas duas escalas,
e
.
Passo 2
Primeiro precisamos da relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit. Vou lembrar e derivar essa relação de um jeito bem claro: sabemos que a mesma temperatura corresponde a dois pares de pontos conhecidos nas escalas:
Esses dois pontos mostram que a relação entre
e
é linear (uma reta), porque as escalas são proporcionais com deslocamento. A inclinação (slope) dessa reta é
Uma linha com essa inclinação que passa por
tem a forma
Aqui eu defini claramente as variáveis:
é a leitura em graus Celsius e
é a leitura em graus Fahrenheit para a mesma temperatura física.
Passo 3
Agora usemos a condição do enunciado, que é
Substituímos a expressão de
em função de
da fórmula de conversão na equação acima. Ou seja, substituímos
em
obtendo
Passo 4
Vamos resolver a equação passo a passo. Primeiro eliminamos o parêntese:
Calculando os produtos:
Agora isolamos os termos com
num só lado. Subtraímos
de ambos os lados:
Para somar/subtrair frações, escrevemos
como
:
Fazendo a subtração no numerador:
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
. Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
Multiplicando:
Se quiser uma aproximação decimal (útil para intuição),
(Usei vírgula para separar decimais, conforme convensão.)
Passo 5
Agora encontramos
. Usamos a relação dada
, que implica
Substituindo o valor exato de
:
Em decimal,
Também podemos verificar rapidamente usando a fórmula de conversão
. Se substituirmos
nessa fórmula, obtemos exatamente
, o que confirma que os valores são consistentes.
Passo 6
Conclusão interpretativa: sim, existe uma única temperatura em que a leitura em Celsius é o dobro da leitura em Fahrenheit. É uma temperatura abaixo de zero em ambas as escalas (não surpreendente: multiplicar por 2 aqui leva a sinais negativos que se ajustam com o deslocamento de 32°F).