Uma parede é construída com duas camadas de materiais diferentes. A primeira camada (material A) tem espessura de 0,05 m e condutividade térmica de 0,06 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}. A segunda camada (material B) tem espessura de 0,10 m e condutividade térmica de 0,04 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}. A área total da parede é de 5 \mathrm{~m}^{2}. Se a temperatura da superficie interna da camada A é de 20^{\circ} \mathrm{C} c a tempcratura da superfícic externa da camada B ć dc 50^{\circ} F, dcterminc:
a) A diferença de temperatura \triangle T total através da parede em Kelvin.
b) A taxa de fluxo de calor (potência térmica) através da parede.

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar tudo direitinho para a gente não se perder):
L_A = 0,05\\ \mathrm{m}
k_A = 0,06\\ \mathrm{W/(m\;K)}
L_B = 0,10\\ \mathrm{m}
k_B = 0,04\\ \mathrm{W/(m\;K)}
A_{\text{parede}} = 5\\ \mathrm{m}^2
Temperaturas na superfície:
T_{\text{interna (superfície A)}} = 20^\circ\mathrm{C}í
T_{\text{externa (superfície B)}} = 50^\circ\mathrm{F}í
O que o enunciado pede:
a) A diferença de temperatura total \Delta T através da parede, em Kelvin.
b) A taxa de fluxo de calor (potência térmica) através da parede.

Passo 2

Converter a temperatura externa de Fahrenheit para Celsius e depois para Kelvin (ou só usar diferença, que é mais simples). A fórmula de conversão é
T_C = \frac{5}{9}\,(T_F-32).
Aplicando para 50^\circ\mathrm{F}:
T_{\text{externa}} = \frac{5}{9}\,(50-32) = \frac{5}{9}\cdot 18 = 10^\circ\mathrm{C}.
Agora as temperaturas em Kelvin (apenas para ilustrar que diferença em °C = diferença em K):
T_{\text{interna}} = 20^\circ\mathrm{C} = 293,15\\ \mathrm{K}
T_{\text{externa}} = 10^\circ\mathrm{C} = 283,15\\ \mathrm{K}
Portanto a diferença de temperatura total é
\Delta T = T_{\text{interna}}-T_{\text{externa}} = 20^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=10\\ \mathrm{K}.
Observação didática rápida: uma variação de 1^\circ\mathrm{C} equivale a 1\\ \mathrm{K}, por isso podemos comparar diferenças diretamente.

Passo 3

Explicar a lei e o modelo que vamos usar (com calma, passo a passo):
  • Para condução estacionária unidimensional em camadas em série, a potência térmica (taxa de fluxo de calor) é dada por
\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a resistência térmica total da parede (soma das resistências das camadas).
  • A resistência térmica de uma camada homogênea é
R = \frac{L}{k\,A},
com L = espessura da camada ( \mathrm{m}), k = condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\;K)}), A = área ( \mathrm{m}^2). A unidade de R é \mathrm{K/W} (temperatura por potência).
Isso significa, na prática, que camadas mais espessas aumentam a resistência e materiais com maior k (mais condutores) diminuem a resistência.

Passo 4

Calcular a resistência térmica da camada A (material A). Usando
R_A=\frac{L_A}{k_A\,A_{\text{parede}}}
substituindo os valores:
R_A=\frac{0,05}{0,06\cdot 5}.
Primeiro calcule 0,06\cdot 5 = 0,30. Então
R_A=\frac{0,05}{0,30}=0,1667\\ \mathrm{K/W}\quad(\text{aprox.}).
Se preferir como fração exata, 0,05/(0,06\cdot5)=\tfrac{1}{6}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcular a resistência térmica da camada B (material B). Usando
R_B=\frac{L_B}{k_B\,A_{\text{parede}}}
substituindo:
R_B=\frac{0,10}{0,04\cdot 5}.
Calcule 0,04\cdot 5 = 0,20. Então
R_B=\frac{0,10}{0,20}=0,50\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar as resistências para obter a resistência total:
R_{\text{total}} = R_A + R_B = 0,1667 + 0,50 = 0,6667\\ \mathrm{K/W}.
Em forma fracionária isso é R_{\text{total}}=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Calcular a taxa de fluxo de calor usando \dot{Q}=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{total}}}. Substituindo \Delta T=10\\ \mathrm{K} e R_{\text{total}}=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{K/W}:
\dot{Q}=\frac{10}{2/3}=10\cdot\frac{3}{2}=15\\ \mathrm{W}.
Interpretação: 15\\ \mathrm{W} é a potência térmica que atravessa a parede, do interior mais quente para o exterior mais frio (ou seja, do lado com 20^\circ\mathrm{C} para o lado com 10^\circ\mathrm{C}).

Passo 8

Checagem rápida das unidades e da ordem de grandeza (para você se sentir seguro na prova):
  • Resistências estavam em \mathrm{K/W}, \Delta T em \mathrm{K}, então \dot{Q} resulta em \mathrm{W} — perfeito.
  • Ordem de grandeza: parede de área 5\\ \mathrm{m}^2 com camadas relativamente isolantes (condutividades baixas) produzir 15 W de perda térmica para uma diferença de 10 K — razoável e consistente.

Resposta

\Delta T = 10\\ \mathrm{K}
\dot{Q} = 15\\ \mathrm{W}

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