Em um recipiente isolado termicamente, são misturados 100 g de vapor d’água a 100^{\circ} C com 500 g de gelo a -10^{\circ} C. Determine a temperatura final de equilíbrio do sistema e a composição final da mistura (quantidades de gelo, água líquida e/ou vapor).
Calor específico do gelo: 0,5 \mathrm{cal} / g^{\circ} C; Calor específico da água: 1 \mathrm{cal} / g^{\circ} C; Calor latente de fusão do gelo: 80 \mathrm{cal} / g; Calor latente de vaporização da água: 540 \mathrm{cal} / g.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a temperatura final de equilíbrio do sistema e a composição final (quantidades de gelo, água líquida e/ou vapor) após misturar dois corpos em um recipiente termicamente isolado. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\bullet Massa de vapor d’água: \,m_{\text{vapor}}=100\\ \mathrm{g}.
\bullet Temperatura inicial do vapor: \,T_{\text{vapor}}=100^\circ\mathrm{C}.
\bullet Massa de gelo: \,m_{\text{gelo}}=500\\ \mathrm{g}.
\bullet Temperatura inicial do gelo: \,T_{\text{gelo}}=-10^\circ\mathrm{C}.
Propriedades térmicas fornecidas:
\bullet Calor específico do gelo: \,c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}).
\bullet Calor específico da água líquida: \,c_{\text{agua}}=1\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}).
\bullet Calor latente de fusão do gelo: \,L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
\bullet Calor latente de vaporização da água: \,L_v=540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
O sistema é isolado termicamente (sem trocas de calor com o exterior). O que se pede, em resumo:
\bullet Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
\bullet Determinar as massas finais de gelo, água líquida e vapor (se houver).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): conservação de energia térmica num sistema isolado. Em palavras: o calor perdido por partes quentes será igual ao calor ganho por partes frias. Matematicamente, somando todos os Q trocados no processo,
\sum Q = 0.
Aqui convencionamos Q>0 quando um corpo recebe (ganha) calor e Q<0 quando perde calor. As duas fórmulas fundamentais que usaremos são:
\bullet Calor sensível (para mudar temperatura, sem mudança de fase):
Q = m\,c\,\Delta T,
onde \,m é a massa (em g), \,c o calor específico (em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})) e \,\Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
\bullet Calor latente (para mudança de fase a temperatura constante):
Q = m\,L,
onde \,L é o calor latente (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}) — positivo quando absorvido (fusão, vaporização), negativo quando liberado (solidificação, condensação).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Identificar as possíveis etapas físicas que podem ocorrer entre vapor a 100^\circ\mathrm{C} e gelo a -10^\circ\mathrm{C}. São processos possíveis:
\bullet O vapor pode condensar em água líquida a 100^\circ\mathrm{C}, liberando calor \,m_{\text{vapor}}L_v. Depois, a água resultante pode se resfriar de 100^\circ\mathrm{C} até T_f, liberando calor sensível.
\bullet O gelo pode aquecer de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, absorvendo calor sensível; depois pode fundir a 0^\circ\mathrm{C}, absorvendo m_{\text{gelo}}L_f; finalmente, a água resultante pode aquecer de 0^\circ\mathrm{C} até T_f, absorvendo calor sensível.
Para decidir qual conjunto de etapas realmente ocorre (por exemplo: todo o gelo derrete? sobra vapor no final?), avaliamos energeticamente se o calor liberado por um lado é suficiente para realizar as mudanças de fase e aquecimento do outro lado.

Passo 4

Estratégia prática (padrão para esses problemas): testar cenários possíveis, começando pelo cenário intermediário mais provável e verificando consistência.
Cenários a considerar:
  1. Temperatura final T_f<0^\circ\mathrm{C}: parte ou todo vapor não seria suficiente para derreter todo gelo — parece improvável porque o vapor libera muito calor por condensação, mas vamos checar.
  2. Temperatura final 0^\circ\mathrm{C}\le T_f\le 100^\circ\mathrm{C}: cenário onde todo gelo pode derreter (ou não), vapor pode condensar (ou não) e o equilíbrio fica entre 0 e 100.
  3. Temperatura final T_f>100^\circ\mathrm{C}: só possível se sobrar vapor que forneça calor suficiente para aquecer toda a massa acima de 100^\circ\mathrm{C} — improvável aqui, porque temos mais gelo frio que vapor quente.
O caminho usual e mais direto é testar se todo vapor condensando e esfriando até 0^\circ\mathrm{C} fornece calor suficiente para aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} e derreter todo o gelo. Se sim, então todos os passos de fusão ocorrem e o equilíbrio ficará entre 0 e 100^\circ\mathrm{C}. Vamos calcular isso.

Passo 5

Calcular o calor total que seria liberado se todo o vapor se condensasse e depois o líquido resultante se resfriasse até 0^\circ\mathrm{C}.
\bullet Calor liberado pela condensação de todo o vapor:
Q_{\text{cond}} = m_{\text{vapor}} \, L_v.
Substituindo números:
Q_{\text{cond}} = 100\\ \mathrm{g}\times 540\\ \mathrm{cal/g} = 54\,000\\ \mathrm{cal}.
\bullet Depois, esse líquido (massa 100\\ \mathrm{g}) se resfria de 100^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, liberando:
Q_{\text{resfria}} = m_{\text{vapor}}\, c_{\text{agua}}\, (100^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}).
Q_{\text{resfria}} = 100\\ \mathrm{g}\times 1\\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)} \times 100^\circ\mathrm{C} = 10\,000\\ \mathrm{cal}.
\bullet Calor total disponível do vapor ao chegar como água a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{disponivel}} = Q_{\text{cond}} + Q_{\text{resfria}} = 54\,000 + 10\,000 = 64\,000\\ \mathrm{cal}.
Interpretação: se todo o vapor condensar e resfriar até 0^\circ\mathrm{C}, ele liberaria 64\,000\\ \mathrm{cal} para aquecer/derreter o gelo.

Passo 6

Calcular o calor necessário para levar todo o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até água líquida a 0^\circ\mathrm{C} (ou seja: aquecer o gelo até 0^\circ\mathrm{C} e depois fundi-lo totalmente).
\bullet Aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aquec-gelo}} = m_{\text{gelo}} \, c_{\text{gelo}} \, (0^\circ\mathrm{C} -(-10^\circ\mathrm{C})) .
Q_{\text{aquec-gelo}} = 500\\ \mathrm{g}\times 0{,}5\\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}\times 10^\circ\mathrm{C} = 2\,500\\ \mathrm{cal}.
\bullet Fundir todo o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{fusao}} = m_{\text{gelo}} \, L_f = 500\\ \mathrm{g}\times 80\\ \mathrm{cal/g} = 40\,000\\ \mathrm{cal}.
\bullet Calor total necessário para transformar todo o gelo ( 500\\ \mathrm{g}) em água a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{necessario}} = Q_{\text{aquec-gelo}} + Q_{\text{fusao}} = 2\,500 + 40\,000 = 42\,500\\ \mathrm{cal}.

Passo 7

Comparação entre calor disponível e calor necessário:
\bullet Calor disponível do vapor resfriando até 0^\circ\mathrm{C}: \,Q_{\text{disponivel}} = 64\,000\\ \mathrm{cal}.
\bullet Calor necessário para aquecer e fundir todo o gelo: \,Q_{\text{necessario}} = 42\,500\\ \mathrm{cal}.
Como Q_{\text{disponivel}} > Q_{\text{necessario}}, concluímos que o calor liberado pelo vapor é suficiente para aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo completamente. Portanto:
\bullet Todo o gelo irá derreter.
\bullet Todo o vapor provavelmente irá condensar (pelo menos até que o sistema alcance uma temperatura entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}); ou seja, não haverá gelo restante, e não haverá vapor no equilíbrio se a temperatura final ficar abaixo de 100^\circ\mathrm{C}. Vamos calcular T_f assumindo que todo vapor condensou e todo gelo fundiu, restando só água líquida.

Passo 8

Agora fazemos o balanço de energia final supondo que a situação consistente é: todo vapor condensou, todo gelo derreteu, e o sistema final é apenas água líquida com massa total
m_{\text{total}} = m_{\text{vapor}} + m_{\text{gelo}} = 100\\ \mathrm{g} + 500\\ \mathrm{g} = 600\\ \mathrm{g}.
A equação de conservação de energia considerando todos os passos (com sinais) pode ser escrita como:
\underbrace{m_{\text{vapor}}L_v}_{\text{condensação}} + \underbrace{m_{\text{vapor}}c_{\text{agua}}(100^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C})}_{\text{resfriamento do condensado até }0^\circ\mathrm{C}} - \underbrace{m_{\text{gelo}}c_{\text{gelo}}(0^\circ\mathrm{C}-(-10^\circ\mathrm{C}))}_{\text{aquec. do gelo até }0^\circ\mathrm{C}} - \underbrace{m_{\text{gelo}}L_f}_{\text{fusão do gelo}} = \underbrace{m_{\text{total}} c_{\text{agua}}(T_f - 0^\circ\mathrm{C})}_{\text{aquecimento da água resultante de }0\text{ para }T_f}.çãééãá
Explicando: o lado esquerdo é o total de calor liberado pelos componentes quentes até 0^\circ\mathrm{C} menos o calor necessário para levar o gelo até água a 0^\circ\mathrm{C}. O resultado é o calor que sobra para aquecer a massa total de água do ponto 0^\circ\mathrm{C} até a temperatura final T_f.
Substituindo números nos termos do lado esquerdo (já calculados anteriormente):
64\,000\\ \mathrm{cal} - 42\,500\\ \mathrm{cal} = 21\,500\\ \mathrm{cal}.
Portanto 21\,500\\ \mathrm{cal} é o calor disponível para aquecer os 600\\ \mathrm{g} de água de 0^\circ\mathrm{C} até T_f.

Passo 9

Agora usamos a fórmula do calor sensível para encontrar T_f:
Q_{\text{sobrando}} = m_{\text{total}}\, c_{\text{agua}}\, (T_f - 0^\circ\mathrm{C}).
Substituindo Q_{\text{sobrando}}=21\,500\\ \mathrm{cal}, m_{\text{total}}=600\\ \mathrm{g}, c_{\text{agua}}=1\\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}:
21\,500 = 600 \times 1 \times (T_f - 0).
Isolando T_f:
T_f = \frac{21\,500}{600} = 35{,}8333\ldots{}^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais, vírgula decimal conforme convenção local):
T_f \approx 35{,}83^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Conferência da consistência do resultado: T_f está entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, como assumimos na etapa anterior. Logo o cenário é consistente: todo o gelo derreteu, todo o vapor condensou, e o sistema final é apenas água líquida a T_f\approx 35{,}83^\circ\mathrm{C}.
Também podemos checar que não sobrou energia para vaporizar água novamente (não ultrapassamos 100^\circ\mathrm{C}), e não restou gelo (porque usamos calor suficiente para fundir todo gelo). Tudo coerente.

Resposta

Temperatura final de equilíbrio: T_f \approx 35{,}83^\circ\mathrm{C}.
Composição final: 0\\ \mathrm{g} de gelo, 600\\ \mathrm{g} de água líquida, 0\\ \mathrm{g} de vapor.

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