E2.9 Um fio elétrico consiste em um condutor elétrico de 4 mm de diâmetro e uma cobertura de revestimento plástico de 2 mm de espessura e \mathrm{k}=0,18 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. O fio está exposto, inicialmente, em um ambiente de ar quiescente com \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e, depois, um vento passa e provoca um aumento de h até atingir 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Analise para as duas situações se revestimento plástico melhora ou não a transferência de calor para o ambiente.

Passo 1

O enunciado pede que, para duas situações de convecção (primeiro com h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)} e depois com h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}), se analise se o revestimento plástico melhora ou não a transferência de calor do fio para o ambiente.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do condutor metálico: 4\\ \mathrm{mm}. Portanto o raio do condutor é r_1=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do revestimento plástico: 2\\ \mathrm{mm}. Portanto o raio externo do revestimento é r_2=r_1+2\\ \mathrm{mm}=4\\ \mathrm{mm}=0,004\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do plástico: k=0,18\\ \mathrm{W/(mK)}.
  • Coeficiente de convecção do ar nas duas situações:
    • caso A: h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)} (ar quiescente),
    • caso B: h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)} (vento forte).
Pergunta direta a responder (para cada h): o revestimento plástico melhora (aumenta) ou piora (reduz) a transferência de calor do fio para o ambiente?

Passo 2

Modelo físico e estratégia de resolução (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
Pensamento físico: o fluxo de calor por unidade de comprimento do fio (denotado q' em \mathrm{W/m}) quando a superfície interna está a uma temperatura T_s e o ar a T_\infty pode ser tratado por resistências térmicas em série:
  • resistência por condução através do revestimento plástico (geometria cilíndrica),
  • resistência por convecção na superfície externa do revestimento.
A analogia elétrica dá:
q'=\frac{T_s-T_\infty}{R_\text{total}},
onde
R_\text{total}=R_\text{cond}+R_\text{conv,outer}.
Fórmulas necessárias (explicadas):
  • Resistência por condução em um cilindro (por unidade de comprimento L): a área de fluxo varia com o raio, e a solução fica
R_\text{cond}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Aqui k é a condutividade térmica do material do revestimento, r_1 é o raio interno (superfície do condutor), r_2 é o raio externo (superfície do revestimento) e L é o comprimento considerado. Para comparar resistências por unidade de comprimento podemos escolher L=1\\ \mathrm{m}, porque a equação é linear em L.
  • Resistência por convecção na superfície cilíndrica externa (por unidade de comprimento L):
R_\text{conv,outer}=\frac{1}{2\pi r_2 L h},
onde h é o coeficiente convectivo e r_2 a raio externo.
  • Para o fio nu (sem revestimento) só existe resistência convectiva na superfície do condutor:
R_\text{bare}=\frac{1}{2\pi r_1 L h}.
Critério: se R_\text{total}<R_\text{bare} então o revestimento melhora a transferência de calor (maior q' para a mesma \Delta T). Se R_\text{total}>R_\text{bare} então o revestimento atua como isolante e piora a transferência.

Passo 3

Preparar os números e escolher L=1\\ \mathrm{m} para comparar resistências por metro:
  • r_1=0,002\\ \mathrm{m}.
  • r_2=0,004\\ \mathrm{m}.
  • k=0,18\\ \mathrm{W/(mK)}.
  • Situação A: h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Situação B: h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Vou calcular R_\text{cond}, R_\text{conv,outer} e R_\text{bare} para cada caso.

Passo 4

Calcular a resistência de condução do revestimento (por metro).
Usando
R_\text{cond}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right),
substituindo k=0,18\\ \mathrm{W/(mK)} e \dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{0,004}{0,002}=2:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln(2)\approx 0,693147\ldots
R_\text{cond}=\frac{0,693147}{2\pi\times 0,18} =\frac{0,693147}{1,130973\ldots}\approx 0,613\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Comentário didático rápido: esse valor já é relativamente grande porque k do plástico é baixo; ou seja, o plástico oferece resistência considerável à passagem do calor.

Passo 5

Calcular as resistências convectivas externas (revestido) para os dois h.
Fórmula:
R_\text{conv,outer}=\frac{1}{2\pi r_2 h}.
Para h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}:
R_\text{conv,outer}=\frac{1}{2\pi \times 0,004\times 10} =\frac{1}{2\pi\times 0,04} =\frac{1}{0,251327\ldots}\approx 3,979\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Soma com R_\text{cond}:
R_\text{total,A}=R_\text{cond}+R_\text{conv,outer}\approx 0,613+3,979=4,592\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Para h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}:
R_\text{conv,outer}=\frac{1}{2\pi \times 0,004\times 100} =\frac{1}{2\pi\times 0,4} =\frac{1}{2,51327\ldots}\approx 0,3979\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Soma com R_\text{cond}:
R_\text{total,B}=0,613+0,3979=1,0109\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.

Passo 6

Calcular a resistência convectiva do fio nu (sem revestimento) para cada h:
R_\text{bare}=\frac{1}{2\pi r_1 h}.
Para h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}:
R_\text{bare,A}=\frac{1}{2\pi \times 0,002\times 10} =\frac{1}{2\pi\times 0,02} =\frac{1}{0,125664\ldots}\approx 7,958\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Para h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}:
R_\text{bare,B}=\frac{1}{2\pi \times 0,002\times 100} =\frac{1}{2\pi\times 0,2} =\frac{1}{1,256637\ldots}\approx 0,7958\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.

Passo 7

Comparações e interpretação final (explicando o porquê de forma simples).
  • Caso A ( h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}, ar quiescente):
    R_\text{total,A}\approx 4,592\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}, \qquad R_\text{bare,A}\approx 7,958\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
    Como R_\text{total,A}<R_\text{bare,A}, o revestimento reduz a resistência térmica total — isto é, para a mesma diferença de temperatura entre o condutor e o ar, o fio revestido perde mais calor por metro do que o fio nu. Conclusão: com convecção fraca ( h pequeno) o efeito do aumento da área externa (maior raio) compensa a resistência do plástico, e o revestimento melhora a transferência de calor.
  • Caso B ( h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}, vento forte):
    R_\text{total,B}\approx 1,0109\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}, \qquad R_\text{bare,B}\approx 0,7958\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
    Agora R_\text{total,B}>R_\text{bare,B}. Isto significa que, quando a convecção é forte (grande h), a resistência adicional do plástico domina e o revestimento passa a atuar como isolante, reduzindo a perda de calor. Conclusão: com convecção forte o revestimento piora a transferência de calor.
Explicação conceitual curta e intuitiva: o plástico tem baixa condutividade — ele sempre adiciona alguma resistência. Porém, ao revestir o fio, a superfície de troca aumenta (raio maior), o que diminui a resistência convectiva na superfície externa. Se a convecção é fraca (alto R_conv), esse aumento de área (redução de R_conv) pode superar a resistência do plástico, melhorando a troca. Se a convecção é muito eficiente (baixo R_conv), a resistência do plástico não compensa e o revestimento só prejudica.

Resposta

Com h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}: o revestimento plástico melhora a transferência de calor.
Com h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}: o revestimento plástico piora a transferência de calor.

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