2.12 Um tubo de aço de diâmetros interno e externo de, respectivamente, 100 e 110 mm tem condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{t}}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e é revestido com uma camada de 50 mm de isolamento térmico, cuja condutividade vale \mathrm{ki}=0,07 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura interna do tubo vale 250^{\circ} \mathrm{C} e a da superfície externa do isolamento, 50^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de perda de calor em 1 m de tubulação e a temperatura da superfície externa do tubo (ou interna do isolamento térmico).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Diâmetro interno do tubo: 100\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro externo do tubo: 110\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura do isolamento: 50\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica do aço (tubo): k_{t}=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do isolamento: k_{i}=0,07\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura interna do tubo (superfície interna): T_{1}=250^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa do isolamento: T_{3}=50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Comprimento considerado: L=1\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
  1. Determinar a taxa de perda de calor em 1\\ \mathrm{m} de tubulação (ou seja, \dot{Q} por metro).
  2. Determinar a temperatura da superfície externa do tubo (que é a superfície interna do isolamento), chamarei essa temperatura de T_{2}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter diâmetros em raios (em metros), porque a fórmula de condução radial usa raios.
  • Raio interno do tubo: r_{1} = \dfrac{100\\ \mathrm{mm}}{2} = 50\\ \mathrm{mm} = 0,050\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo (que é a face interna do isolamento): r_{2} = \dfrac{110\\ \mathrm{mm}}{2} = 55\\ \mathrm{mm} = 0,055\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do isolamento: r_{3} = r_{2} + 50\\ \mathrm{mm} = 0,055\\ \mathrm{m} + 0,050\\ \mathrm{m} = 0,105\\ \mathrm{m}.
Anotando em TeX:
r_{1}=0,050\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=0,055\\ \mathrm{m},\qquad r_{3}=0,105\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Explicar a ideia e a fórmula que vamos usar (aulas práticas!):
  • Em condução radial estacionária em um cilindro (comprimento L), a taxa de calor por unidade de tempo que flui do raio r_{i} para r_{o} é dada por uma lei análoga à lei de Ohm, usando resistências térmicas. Para um cilindro de material com condutividade k:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right)}{2\pi k L}.
Aqui R_{\text{cond}} tem unidades \mathrm{K}/\mathrm{W}, r_{o} e r_{i} são raios externo e interno, k é condutividade, e L é comprimento.
  • Quando temos camadas concêntricas (aço + isolamento) em série, as resistências se somam:
R_{\text{total}}=R_{\text{tubo}}+R_{\text{isol}}.
  • A taxa de calor (perda) é então:
\dot{Q}=\frac{T_{1}-T_{3}}{R_{\text{total}}}.
  • A temperatura na interface entre camadas (aqui T_{2} em r_{2}) pode ser obtida subtraindo a queda de temperatura na primeira resistência:
T_{2}=T_{1}-\dot{Q}\,R_{\text{tubo}}.
Também se poderia usar T_{2}=T_{3}+\dot{Q}\,R_{\text{isol}}; ambos são equivalentes.

Passo 4

Calcular as resistências de cada camada usando a fórmula. Primeiro a resistência do tubo (aço):
R_{\text{tubo}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{t} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,055}{0,050}\right)}{2\pi\cdot 50\cdot 1}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente (vou mostrar os valores aproximados):
\ln\!\left(\dfrac{0,055}{0,050}\right)=\ln(1,1)\approx 0,0953101798,
2\pi k_{t} L = 2\pi\cdot 50\cdot 1 = 100\pi \approx 314,1592654.
Portanto
R_{\text{tubo}}\approx \frac{0,0953101798}{314,1592654}\approx 0,0003036\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Agora a resistência do isolamento:
R_{\text{isol}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{3}}{r_{2}}\right)}{2\pi k_{i} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,105}{0,055}\right)}{2\pi\cdot 0,07\cdot 1}.
Calculemos:
\ln\!\left(\dfrac{0,105}{0,055}\right)=\ln(1,9090909)\approx 0,6466271915,
2\pi k_{i} L = 2\pi\cdot 0,07\cdot 1 = 0,14\pi \approx 0,4398229715.
Logo
R_{\text{isol}}\approx \frac{0,6466271915}{0,4398229715}\approx 1,4701731\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Somar resistências e calcular a taxa de calor:
R_{\text{total}}=R_{\text{tubo}}+R_{\text{isol}}\approx 0,0003036+1,4701731\approx 1,4704767\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
A diferença de temperatura entre interior e a superfície externa do isolamento é
\Delta T = T_{1}-T_{3}=250^{\circ}\mathrm{C}-50^{\circ}\mathrm{C}=200\\ \mathrm{K}.
Portanto a taxa de perda de calor por 1\\ \mathrm{m} de tubo é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{200}{1,4704767}\approx 136,00\\ \mathrm{W}.
Comentário intuitivo: a resistência do aço é muito pequena comparada à do isolamento, por isso praticamente toda a queda de temperatura ocorre no isolamento.

Passo 6

Calcular a temperatura na interface aço/isolamento ( T_{2}). Usando a queda de temperatura no tubo:
T_{2}=T_{1}-\dot{Q}\,R_{\text{tubo}}.
Substituindo os valores:
\dot{Q}\,R_{\text{tubo}}\approx 136,00\times 0,0003036\approx 0,0413\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{2}\approx 250^{\circ}\mathrm{C}-0,0413^{\circ}\mathrm{C}\approx 249,96^{\circ}\mathrm{C}.
Verificação (controle): usando T_{2}=T_{3}+\dot{Q}\,R_{\text{isol}} deve dar o mesmo:
T_{3}+\dot{Q}\,R_{\text{isol}}\approx 50 + 136,00\times 1,4701731 \approx 50 + 199,96 \approx 249,96^{\circ}\mathrm{C},
confirmando consistência.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova:
  • Resultado prático: com isolamento eficaz (condutividade baixa), a superfície externa do tubo praticamente tem a mesma temperatura do interior ( \approx 250^{\circ}\mathrm{C}), porque o aço conduz muito bem e é muito fino.
  • Em provas, sempre converta mm → m e calcule raios; em seguida use a fórmula de resistência radial \ln(r_{o}/r_{i})/(2\pi k L). Cheque que a soma das quedas de temperatura dá a diferença total T_{1}-T_{3} (boa verificação numérica).
  • Se precisar fazer estimativa sem calculadora, observe que a resistência do aço será desprezível se k for grande e a espessura pequena; aí \dot{Q}\approx (T_{1}-T_{3})/[ \ln(r_{3}/r_{2})/(2\pi k_{i}L)].

Resposta

\dot{Q}\approx 136,0\\ \mathrm{W} por metro de tubulação.
T_{2}\approx 249,96^{\circ}\mathrm{C}.

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