Um fio elétrico tem 1,0 mm de diâmetro, 2,0 m de comprimento e uma resistência de 50 m Omega. Qual é a resistividade do material do fio? Um fio tem uma resistência R. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do mesmo material, com metade do comprimento e metade do diâmetro?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um fio elétrico com 1,0 mm de diâmetro, 2,0 m de comprimento e uma resistência de 50 mΩ. A primeira pergunta é sobre descobrir a resistividade do material desse fio. Depois, queremos saber qual seria a resistência de outro fio feito do mesmo material, mas com metade do comprimento e metade do diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre resistividade e como ela se relaciona com a resistência, comprimento e área da seção transversal do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a resistência R de um fio com a resistividade rho, o comprimento L e a área da seção transversal A:
R = rho LA
Aqui, rho é a resistividade do material, L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a resistividade rho. Podemos rearranjar a fórmula para isolá-la:
rho = R AL
Agora, precisamos calcular a área da seção transversal do fio. Como o fio é cilíndrico, a área A é dada por:
A = pi (d2)^2
Onde d é o diâmetro do fio.

Passo 4

Vamos calcular a área A usando o diâmetro fornecido. Primeiro, convertemos o diâmetro de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
d = 1,0 mm = 0,001 m
Então,
A = pi (0,001 m2)^2 = pi (0,0005 m)^2 approx 7,85398 times 10^-7 m^2

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da resistividade:
rho = 50 times 10^-3 Omega times 7,85398 times 10^-7 m^22,0 m
rho = 50 times 10^-3 times 7,85398 times 10^-72 Omega cdot m
rho = 50 times 10^-3 times 3,92699 times 10^-7 Omega cdot m
rho approx 1,9635 times 10^-8 Omega cdot m

Passo 6

Agora, para a segunda parte do problema, queremos encontrar a resistência de um segundo fio com metade do comprimento e metade do diâmetro, mas feito do mesmo material.
Vamos chamar a resistência original de R e a resistência do novo fio de R'.
Sabemos que:
R propto LA
Onde A é a área da seção transversal, que depende do diâmetro ao quadrado.

Passo 7

Se o novo comprimento L' for metade do original:
L' = L2
E o novo diâmetro d' for metade do original:
d' = d2
Então, a nova área A' será:
A' = pi (d'2)^2 = pi (d4)^2 = pi (d2)^2 times 14 = A times 14

Passo 8

Substituindo na relação de resistência:
R' = rho L'A' = rho L2A4 = rho 2LA = 2 times (rho LA) = 2R
Isso significa que a resistência do novo fio é o dobro da resistência original.

Resposta

A resistividade do material do fio é aproximadamente 1,96 times 10^-8 , Omega cdot m. A resistência do segundo fio, com metade do comprimento e metade do diâmetro, será o dobro da resistência original, ou seja, 100 , mOmega.

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