Um fio elétrico tem
de diâmetro,
de comprimento e uma resistência de
. Qual é a resistividade do material do fio? Um fio tem uma resistência R. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do mesmo material, com metade do comprimento e metade do diâmetro?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um fio elétrico com 1,0 mm de diâmetro, 2,0 m de comprimento e uma resistência de 50 mΩ. A primeira pergunta é sobre descobrir a resistividade do material desse fio. Depois, queremos saber qual seria a resistência de outro fio feito do mesmo material, mas com metade do comprimento e metade do diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre resistividade e como ela se relaciona com a resistência, comprimento e área da seção transversal do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a resistência
de um fio com a resistividade
, o comprimento
e a área da seção transversal
:
Aqui,
é a resistividade do material,
é o comprimento do fio e
é a área da seção transversal.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a resistividade
. Podemos rearranjar a fórmula para isolá-la:
Agora, precisamos calcular a área da seção transversal do fio. Como o fio é cilíndrico, a área
é dada por:
Onde
é o diâmetro do fio.
Passo 4
Vamos calcular a área
usando o diâmetro fornecido. Primeiro, convertemos o diâmetro de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da resistividade:
Passo 6
Agora, para a segunda parte do problema, queremos encontrar a resistência de um segundo fio com metade do comprimento e metade do diâmetro, mas feito do mesmo material.
Vamos chamar a resistência original de
e a resistência do novo fio de
.
Sabemos que:
Onde
é a área da seção transversal, que depende do diâmetro ao quadrado.
Passo 7
Se o novo comprimento
for metade do original:
E o novo diâmetro
for metade do original:
Então, a nova área
será:
Passo 8
Substituindo na relação de resistência:
Isso significa que a resistência do novo fio é o dobro da resistência original.
Resposta
A resistividade do material do fio é aproximadamente
. A resistência do segundo fio, com metade do comprimento e metade do diâmetro, será o dobro da resistência original, ou seja,
.