Um fio grosso de raio R, reto e infinitamente longo é feito de um plástico carregado cuja densidade de carga por unidade de volume é rho. (a) Calcule o campo elétrico E(r) dentro e fora do fio. (b) Esboce um gráfico de como o módulo do campo elétrico varia em função da distância ao eixo do fio. © Expresse o seu resultado para o campo elétrico fora do fio em função de lambda, a densidade linear de carga do fio, e compare com o resultado obtido em classe para o fio delgado infinito.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o enunciado: temos um fio reto, infinito, com raio , carregado de forma homogênea no volume com densidade . Precisamos calcular o campo elétrico para dois casos – dentro do fio ( ) e fora do fio ( ) – usando lei de Gauss. Depois, desenhar o gráfico de em função de e, por fim, reescrever o resultado de fora em termos da densidade linear e comparar com o fio delgado. Vamos usar:
  1. A lei de Gauss: .
  2. Simetria cilíndrica, escolhendo um cilindro gaussiano coaxial ao fio.

Passo 2

Cálculo de Qrm int = rho times (volume) = rho,pi r^2 L dentro do fio ( oint Ecdot dA = E(r),(2pi r L) = Qrm intvarepsilon0 = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 ):
  1. Como a distribuição é homogênea, a carga interna a um cilindro de raio E(r) = rho,pi r^2 Lvarepsilon0,2pi r L = rho,r2,varepsilon0 e comprimento é
  2. Aplico a lei de Gauss num cilindro imaginário de raio :
  3. Isolando :
  4. Como é radial, .

Passo 3

Cálculo de E(r),(2pi r L) = rho,pi R^2 Lvarepsilon0 fora do fio ( E(r) = rho,pi R^2 Lvarepsilon0,2pi r L = rho,R^22,varepsilon0,r, ):
  1. Agora a carga interna até raio (o fio inteiro) é
  2. Mesma lei de Gauss no cilindro de raio :
  3. Logo e

Passo 4

Esboço de vs.\ :
  • Para , : cresce linearmente com .
  • Em , bate no valor máximo .
  • Para , : decai como .
    Gráfico qualitativo: reta até , depois curva hiperbólica decrescente.

Passo 5

Expressão em função de E(r) = rho R^22varepsilon0,r = lambda2pivarepsilon0,r e comparação:
  1. A densidade linear de carga do fio grosso é .
  2. Substituindo em fora:
  3. Exatamente o mesmo resultado que vimos para o fio delgado infinito em aula:

Resposta

Resumindo:
Para :

Para :

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