Um fio grosso de raio
, reto e infinitamente longo é feito de um plástico carregado cuja densidade de carga por unidade de volume é
. (a) Calcule o campo elétrico
dentro e fora do fio. (b) Esboce um gráfico de como o módulo do campo elétrico varia em função da distância ao eixo do fio. © Expresse o seu resultado para o campo elétrico fora do fio em função de
, a densidade linear de carga do fio, e compare com o resultado obtido em classe para o fio delgado infinito.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o enunciado: temos um fio reto, infinito, com raio
, carregado de forma homogênea no volume com densidade
. Precisamos calcular o campo elétrico
para dois casos – dentro do fio (
) e fora do fio (
) – usando lei de Gauss. Depois, desenhar o gráfico de
em função de
e, por fim, reescrever o resultado de fora em termos da densidade linear
e comparar com o fio delgado. Vamos usar:
- A lei de Gauss:
. - Simetria cilíndrica, escolhendo um cilindro gaussiano coaxial ao fio.
Passo 2
Cálculo de
dentro do fio (
):
- Como a distribuição é homogênea, a carga interna a um cilindro de raio
e comprimento é - Aplico a lei de Gauss num cilindro imaginário de raio
: - Isolando
: - Como é radial,
.
Passo 3
Cálculo de
fora do fio (
):
- Agora a carga interna até raio
(o fio inteiro) é
- Mesma lei de Gauss no cilindro de raio
: - Logo
e
Passo 4
Esboço de
vs.\
:
- Para
, : cresce linearmente com . - Em
, bate no valor máximo . - Para
, : decai como .
Gráfico qualitativo: reta até, depois curva hiperbólica decrescente.
Passo 5
Expressão em função de
e comparação:
- A densidade linear de carga do fio grosso é
. - Substituindo em
fora: - Exatamente o mesmo resultado que vimos para o fio delgado infinito em aula:
Resposta
Resumindo:
Para :
Para :
Para
Para