Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme
, é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme
. Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo
e a placa se estende no plano
, conforme a figura.
É possível utilizar a lei de Gauss em conjunto com a superfície
para se obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? Justifique.
É possível utilizar a lei de Gauss em conjunto com a superfície
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma justificativa:
- Há um fio infinito ao longo do eixo
com densidade linear de carga uniforme . - Há uma placa infinita (isolante) que se estende no plano
(ou seja, no plano ) com densidade superficial de carga uniforme . - O fio e a placa ocupam o mesmo espaço descrito acima (a figura indicada mostra o fio paralelo ao eixo
e a placa no plano ).
A pergunta é: é possível utilizar a lei de Gauss junto com a superfície(a superfície que aparece no enunciado/figura) para obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? É pedido justificar a resposta.
Passo 2
Relembrando a lei de Gauss e quando ela é útil de forma prática.
- A lei de Gauss, em forma integral, diz:
onde
é a carga total dentro da superfície fechada
.
- A lei é sempre válida (é uma identidade do eletromagnetismo), mas para usá-la para encontrar
explicitamente precisa-se escolher uma superfície tal que o lado esquerdo seja calculável em termos de uma incógnita simples. Tipicamente isso exige simetrias (esfericamente, cilindricamente ou planarmente simétrico), de modo que em cada parte da superfície tenha direção e módulo conhecidos ou constantes, permitindo tirar fora da integral.
Vou explicar o que significa “simetria suficiente” com um exemplo prático (útil para a prova): para um fio infinito isolado sozinho, há simetria cilíndrica em torno do eixo do fio, então escolhe-se um cilindro coaxial como superfície gaussiana. Nessa superfície o campo é radial, tem módulo dependente só da distância
ao eixo, e é perpendicular às tampas; o fluxo pelo cilindro usa apenas a face lateral e dá diretamente
(orientação radial; com
o campo aponta para o fio).
Passo 3
Caracterizando as simetrias do sistema com os dois objetos (fio + placa).
- O fio isolado tem simetria cilíndrica:
depende só da distância radial ao eixo e aponta radialmente. - A placa infinita, sozinha, tem simetria de translação ao longo
e e reflexão em torno do plano; seu campo é uniforme e perpendicular à placa: para uma placa isolante com carga superficial fixa,
onde
é o vetor unitário normal à placa (no nosso sistema com a placa em
,
; o sinal depende do lado da placa).
- Quando ambos coexistem, a configuração total não mantém a simetria cilíndrica do fio: a presença da placa seleciona uma direção (o eixo
) e o campo total deixa de depender apenas de . Em particular, sobre uma superfície cilíndrica coaxial com o fio o campo total não tem mais apenas componente radial constante nessa superfície — a contribuição da placa acrescenta um componente na direção que varia com a posição angular ao redor do fio.
Passo 4
Por que, então, não dá para usar diretamente a lei de Gauss com uma superfície
simples para encontrar o campo do fio em todo o espaço quando a placa está presente?
- A lei de Gauss exige calcular
. Se escolhermos, por exemplo, um cilindro coaxial com o fio (a escolha natural para o fio isolado), o fluxo total através da superfície é dado pelo fluxo devido ao campo total . - O fluxo do campo do fio pela face lateral do cilindro é simples porque
é radial e tem módulo constante na face lateral: . - Porém o campo da placa,
, é (praticamente) uniforme e na direção . Na face lateral do cilindro a direção normal de é radial, que depende do ângulo azimutal . Assim o produto escalar varia com — ou seja, não é constante sobre a face lateral. Logo não se pode tirar um único valor de fora da integral e obter uma expressão simples. - Em outras palavras: a presença da placa introduz uma dependência angular do campo na superfície gaussiana natural do fio; isso impede resolver a integral de fluxo apenas em função de uma incógnita escalar (o módulo do campo radial do fio) usando apenas a lei de Gauss.
Passo 5
Observação importante: a lei de Gauss continua válida, mas deixa de ser útil para achar
de maneira direta com essa superfície
porque o lado esquerdo da equação envolve o campo total (conhecido apenas se já se conhece
). Ou seja, não dá uma equação simples para
.
- Formalmente, se
é um cilindro coaxial de raio e comprimento , a lei de Gauss dá
Mesmo sabendo que
(se o fio está dentro), a presença de
faz com que os dois integrandos não sejam triviais — o termo com
sobre a lateral depende de
e sobre as tampas contribui também, e não há como isolar
sem calcular integral angular complicada que envolve detalhes geométricos (posição do fio em relação à placa, etc.). Portanto não se consegue uma expressão fechada simples para
usando apenas essa
.
Passo 6
O que se pode fazer no lugar (método prático e que você deve aplicar numa prova):
- Usar linearidade (princípio da superposição): calcular separadamente o campo produzido pelo fio isolado e o campo produzido pela placa isolada e então somá-los vetorialmente.
- O campo do fio isolado (sem a placa) é obtido facilmente por Gauss usando cilindro coaxial, dando
onde
e
é o versor radial no plano
. (Com
o campo aponta para o fio.)
- O campo da placa infinita uniforme é, para cada lado,
onde
indica o sentido para o lado
ou
.
- A solução física para o campo total é a soma:
Mas notar que esta construção usa superposição; se a pergunta for estritamente “usar a lei de Gauss com a superfície
dada para obter apenas o campo do fio quando a placa está presente”, a resposta é negativa por falta de simetria que permita simplificar o fluxo.
Passo 7
Resumo final, em linguagem direta e encorajadora:
- A lei de Gauss é sempre verdadeira, mas para obter uma expressão para o campo com ela é preciso escolher uma superfície em que o campo na superfície tenha forma simples (geralmente constante ou perpendicular).
- Com a placa presente, a simetria cilíndrica do fio é quebrada: não se pode assumir que o campo sobre a superfície
(por exemplo, um cilindro coaxial) tenha módulo constante ou direção conhecida suficiente para tirar da integral. - Logo, não é possível usar a lei de Gauss com essa superfície
para obter diretamente o campo do fio em todo o espaço (a menos que se recorra a cálculos integrais complicados que já envolvem conhecer a contribuição da placa — o que anula a vantagem do método). - O caminho prático e correto é usar superposição: calcular o campo do fio sozinho (pela Gauss tradicional) e somar ao campo da placa.
Resposta
Não. A presença da placa carregada quebra a simetria cilíndrica necessária para que a lei de Gauss, aplicada à superfície
simples (por exemplo, um cilindro coaxial), permita extrair diretamente o módulo do campo do fio a partir do fluxo; a integral de fluxo envolve a contribuição da placa que varia com o ângulo, impedindo isolar
. Em vez disso, usa‑se superposição:
e
, e o campo total é a soma vetorial.