Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme -\lambda<0, é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme \sigma>0. Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo z e a placa se estende no plano y z, conforme a figura.
É possível utilizar a lei de Gauss em conjunto com a superfície S para se obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma justificativa:
  • Há um fio infinito ao longo do eixo z com densidade linear de carga uniforme -\lambda<0.
  • Há uma placa infinita (isolante) que se estende no plano yz (ou seja, no plano x=0) com densidade superficial de carga uniforme \sigma>0.
  • O fio e a placa ocupam o mesmo espaço descrito acima (a figura indicada mostra o fio paralelo ao eixo z e a placa no plano yz).
    A pergunta é: é possível utilizar a lei de Gauss junto com a superfície S (a superfície que aparece no enunciado/figura) para obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? É pedido justificar a resposta.

Passo 2

Relembrando a lei de Gauss e quando ela é útil de forma prática.
  • A lei de Gauss, em forma integral, diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada S.
  • A lei é sempre válida (é uma identidade do eletromagnetismo), mas para usá-la para encontrar \mathbf{E} explicitamente precisa-se escolher uma superfície S tal que o lado esquerdo seja calculável em termos de uma incógnita simples. Tipicamente isso exige simetrias (esfericamente, cilindricamente ou planarmente simétrico), de modo que em cada parte da superfície \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} tenha direção e módulo conhecidos ou constantes, permitindo tirar \mathbf{E} fora da integral.
Vou explicar o que significa “simetria suficiente” com um exemplo prático (útil para a prova): para um fio infinito isolado sozinho, há simetria cilíndrica em torno do eixo do fio, então escolhe-se um cilindro coaxial como superfície gaussiana. Nessa superfície o campo é radial, tem módulo dependente só da distância \rho ao eixo, e é perpendicular às tampas; o fluxo pelo cilindro usa apenas a face lateral e dá diretamente \,E(\rho)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho}\, (orientação radial; com \lambda<0 o campo aponta para o fio).

Passo 3

Caracterizando as simetrias do sistema com os dois objetos (fio + placa).
  • O fio isolado tem simetria cilíndrica: \mathbf{E}_{\text{fio}} depende só da distância radial \rho=\sqrt{x^2+y^2} ao eixo e aponta radialmente.
  • A placa infinita, sozinha, tem simetria de translação ao longo y e z e reflexão em torno do plano; seu campo é uniforme e perpendicular à placa: para uma placa isolante com carga superficial fixa,
\mathbf{E}_{\text{placa}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor unitário normal à placa (no nosso sistema com a placa em x=0, \hat{\mathbf{n}}=\pm\hat{\mathbf{x}}; o sinal depende do lado da placa).
  • Quando ambos coexistem, a configuração total não mantém a simetria cilíndrica do fio: a presença da placa seleciona uma direção (o eixo x) e o campo total deixa de depender apenas de \rho. Em particular, sobre uma superfície cilíndrica coaxial com o fio o campo total não tem mais apenas componente radial constante nessa superfície — a contribuição da placa acrescenta um componente na direção \hat{\mathbf{x}} que varia com a posição angular ao redor do fio.

Passo 4

Por que, então, não dá para usar diretamente a lei de Gauss com uma superfície S simples para encontrar o campo do fio em todo o espaço quando a placa está presente?
  • A lei de Gauss exige calcular \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. Se escolhermos, por exemplo, um cilindro coaxial com o fio (a escolha natural para o fio isolado), o fluxo total através da superfície é dado pelo fluxo devido ao campo total \mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{fio}}+\mathbf{E}_{\text{placa}}.
  • O fluxo do campo do fio pela face lateral do cilindro é simples porque \mathbf{E}_{\text{fio}} é radial e tem módulo constante na face lateral: \mathbf{E}_{\text{fio}}\cdot d\mathbf{A}=E_{\text{fio}}(\rho)\,dA.
  • Porém o campo da placa, \mathbf{E}_{\text{placa}}, é (praticamente) uniforme e na direção \hat{\mathbf{x}}. Na face lateral do cilindro a direção normal de d\mathbf{A} é radial, que depende do ângulo azimutal \varphi. Assim o produto escalar \mathbf{E}_{\text{placa}}\cdot d\mathbf{A} varia com \varphi — ou seja, não é constante sobre a face lateral. Logo não se pode tirar um único valor de \mathbf{E} fora da integral e obter uma expressão simples.
  • Em outras palavras: a presença da placa introduz uma dependência angular do campo na superfície gaussiana natural do fio; isso impede resolver a integral de fluxo apenas em função de uma incógnita escalar (o módulo do campo radial do fio) usando apenas a lei de Gauss.

Passo 5

Observação importante: a lei de Gauss continua válida, mas deixa de ser útil para achar \mathbf{E}_{\text{fio}} de maneira direta com essa superfície S porque o lado esquerdo da equação envolve o campo total (conhecido apenas se já se conhece \mathbf{E}_{\text{fio}}). Ou seja, não dá uma equação simples para E_{\text{fio}}.
  • Formalmente, se S é um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L, a lei de Gauss dá
\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\int_{\text{lateral}} (\mathbf{E}_{\text{fio}}+\mathbf{E}_{\text{placa}})\cdot d\mathbf{A} +\int_{\text{tampas}} (\mathbf{E}_{\text{fio}}+\mathbf{E}_{\text{placa}})\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Mesmo sabendo que Q_{\text{int}}=-\lambda L (se o fio está dentro), a presença de \mathbf{E}_{\text{placa}} faz com que os dois integrandos não sejam triviais — o termo com \mathbf{E}_{\text{placa}} sobre a lateral depende de \varphi e sobre as tampas contribui também, e não há como isolar E_{\text{fio}}(\rho) sem calcular integral angular complicada que envolve detalhes geométricos (posição do fio em relação à placa, etc.). Portanto não se consegue uma expressão fechada simples para E_{\text{fio}} usando apenas essa S.

Passo 6

O que se pode fazer no lugar (método prático e que você deve aplicar numa prova):
  • Usar linearidade (princípio da superposição): calcular separadamente o campo produzido pelo fio isolado e o campo produzido pela placa isolada e então somá-los vetorialmente.
  • O campo do fio isolado (sem a placa) é obtido facilmente por Gauss usando cilindro coaxial, dando
\mathbf{E}_{\text{fio}}(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}},
onde \rho=\sqrt{x^2+y^2} e \hat{\boldsymbol{\rho}} é o versor radial no plano xy. (Com \lambda<0 o campo aponta para o fio.)
  • O campo da placa infinita uniforme é, para cada lado,
\mathbf{E}_{\text{placa}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(x)\,\hat{\mathbf{x}},
onde \operatorname{sgn}(x) indica o sentido para o lado x>0 ou x<0.
  • A solução física para o campo total é a soma:
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_{\text{fio}}(\rho)+\mathbf{E}_{\text{placa}}(x).
Mas notar que esta construção usa superposição; se a pergunta for estritamente “usar a lei de Gauss com a superfície S dada para obter apenas o campo do fio quando a placa está presente”, a resposta é negativa por falta de simetria que permita simplificar o fluxo.

Passo 7

Resumo final, em linguagem direta e encorajadora:
  • A lei de Gauss é sempre verdadeira, mas para obter uma expressão para o campo com ela é preciso escolher uma superfície em que o campo na superfície tenha forma simples (geralmente constante ou perpendicular).
  • Com a placa presente, a simetria cilíndrica do fio é quebrada: não se pode assumir que o campo sobre a superfície S (por exemplo, um cilindro coaxial) tenha módulo constante ou direção conhecida suficiente para tirar \mathbf{E} da integral.
  • Logo, não é possível usar a lei de Gauss com essa superfície S para obter diretamente o campo do fio em todo o espaço (a menos que se recorra a cálculos integrais complicados que já envolvem conhecer a contribuição da placa — o que anula a vantagem do método).
  • O caminho prático e correto é usar superposição: calcular o campo do fio sozinho (pela Gauss tradicional) e somar ao campo da placa.

Resposta

Não. A presença da placa carregada quebra a simetria cilíndrica necessária para que a lei de Gauss, aplicada à superfície S simples (por exemplo, um cilindro coaxial), permita extrair diretamente o módulo do campo do fio a partir do fluxo; a integral de fluxo envolve a contribuição da placa que varia com o ângulo, impedindo isolar E_{\text{fio}}. Em vez disso, usa‑se superposição: \mathbf{E}_{\text{fio}}(\rho)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}} e \mathbf{E}_{\text{placa}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\operatorname{sgn}(x)\hat{\mathbf{x}}, e o campo total é a soma vetorial.

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