Um refrigerador opera em um ciclo de Carnot entre um congelador a -13^{\circ} \mathrm{C} e o ar ambiente a 27^{\circ} \mathrm{C}. (i) Determine o coeficiente de desempenho (COP) deste refrigerador. (ii) Se o sistema precisa transformar 2,0 \mathrm{~kg} de água líquida a 20^{\circ} \mathrm{C} em gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}, qual o trabalho total (em Joules) que o compressor deve realizar? (Dados: Calor específico da água =4200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}; Calor latente de fusão =334.000 J/kg)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números e unidades abaixo foram extraídos diretamente do enunciado):
  • Temperatura do congelador: \,T_L = -13^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (fonte quente): \,T_H = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água a ser transformada: \,m = 2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Água começa a 20^\circ\mathrm{C} e deve ficar gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água líquida: \,c = 4200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calor latente de fusão da água: \,L = 334\,000\\ \mathrm{J/kg}.
O enunciado pede duas coisas:
(i) determinar o coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador de Carnot;
(ii) calcular o trabalho total (\text{em J}) que o compressor deve fazer para transformar \,2{,}0\\ \mathrm{kg} de água a 20^\circ\mathrm{C} em gelo a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar como calcular o COP de um refrigerador ideal reversível (ciclo de Carnot). É mandatório usar temperaturas absolutas (Kelvin). Então convertemos:
T_L = -13^\circ\mathrm{C} = -13 + 273{,}15 = 260{,}15\\ \mathrm{K}
T_H = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}
Explicação didática: por que Kelvin? Porque leis termodinâmicas que envolvem razões de temperaturas exigem escala absoluta; temperaturas em Celsius podem dar resultados errados em fórmulas que assumem proporcionalidade com energia térmica.
A fórmula do COP (coeficiente de desempenho) de um refrigerador de Carnot é
\mathrm{COP} = \frac{Q_L}{W} = \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde:
  • \,Q_L é o calor extraído do reservatório frio (o quanto de calor removemos do congelador),
  • \,W é o trabalho fornecido pelo compressor,
  • \,T_L e \,T_H são as temperaturas absolutas do reservatório frio e quente, respectivamente.

Passo 3

Calcular numericamente o \mathrm{COP} substituindo as temperaturas em Kelvin:
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{260{,}15}{300{,}15 - 260{,}15} = \frac{260{,}15}{40{,}00}.
Agora a divisão:
\mathrm{COP} = 6{,}50375\ldots
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil em provas ou cálculos práticos):
\mathrm{COP} \approx 6{,}50.
Comentário rápido e amigo: isso significa que, para cada joule de trabalho do compressor, o refrigerador ideal retira cerca de 6{,}5 J do congelador — um número bastante alto porque a diferença de temperatura é pequena.

Passo 4

Agora vamos calcular quanto de calor precisa ser retirado do bloco de água para levá‑la de 20^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} (resfriamento sensível). A fórmula é
Q_1 = m c \Delta T,
onde \Delta T é a variação de temperatura (sempre em Kelvin ou em graus Celsius para diferença, porque a diferença tem a mesma magnitude nas duas escalas).
Substituindo:
\Delta T = 20^\circ\mathrm{C} - 0^\circ\mathrm{C} = 20\\ \mathrm{K},
Q_1 = 2{,}0\\ \mathrm{kg} \times 4200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 20\\ \mathrm{K}.
Calculemos:
Q_1 = 2{,}0 \times 4200 \times 20 = 168\,000\\ \mathrm{J}.
Explicação didática: o calor sensível muda a temperatura sem mudança de fase; a constante c diz quantos joules são necessários para aumentar 1 kg de água em 1 K.

Passo 5

Depois de resfriar a água até 0^\circ\mathrm{C}, é preciso congelá‑la completamente: aí entra o calor latente. A energia necessária é
Q_2 = m L,
onde \,L é o calor latente de fusão (energia para mudar de líquido para sólido à temperatura constante).
Substituindo:
Q_2 = 2{,}0\\ \mathrm{kg} \times 334\,000\\ \mathrm{J/kg} = 668\,000\\ \mathrm{J}.
Didática curta: o calor latente corresponde à energia necessária para quebrar/organizar ligações/mudanças de estrutura ao mudar de fase — a temperatura não muda durante esse processo.

Passo 6

O calor total retirado do congelador (energia que o refrigerador deve remover) é a soma das duas parcelas:
Q_L = Q_1 + Q_2 = 168\,000\\ \mathrm{J} + 668\,000\\ \mathrm{J} = 836\,000\\ \mathrm{J}.
Esse \,Q_L é o valor que entra na fórmula do COP para achar o trabalho necessário.

Passo 7

Relação entre COP, calor extraído e trabalho:
\mathrm{COP} = \frac{Q_L}{W} \quad\Rightarrow\quad W = \frac{Q_L}{\mathrm{COP}}.
Substituindo os valores calculados:
W = \frac{836\,000\\ \mathrm{J}}{6{,}50375\ldots} \approx 128\,541{,}2\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (útil em respostas de prova):
W \approx 1{,}29\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.
Pequena verificação mental: 836\,000/6{,}5\approx128\,600, então o resultado faz sentido.

Passo 8

Resumo e dica para a prova (rápida e amigável): sempre converter temperaturas para Kelvin antes de aplicar fórmulas termodinâmicas; separar etapas (resfriamento sensível + mudança de fase) evita erro; use \mathrm{COP} = T_L/(T_H-T_L) para Carnot e depois W = Q_L/\mathrm{COP}. Vai dar tudo certo!

Resposta

\mathrm{COP} \approx 6{,}50
W \approx 1{,}29\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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