Um gás ideal ocupa um volume de
a uma pressão de
e uma temperatura de
. O gás é comprimido adiabaticamente até que seu volume seja reduzido para
. Determine: (i) a pressão final do gás; (ii) a temperatura final do gás. (Dado:
)
Passo 1
O enunciado dá os valores iniciais do gás e pede a pressão e a temperatura finais após compressão adiabática. Dados fornecidos:
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Volume final:
. - Constante adiabática:
.
O que se pede:
(i) a pressão final ;
(ii) a temperatura final .
(i) a pressão final
(ii) a temperatura final
Passo 2
Conceito e fórmula principal (explicando devagarzinho): num processo adiabático reversível de um gás ideal (isto é, sem troca de calor com o meio), vale a relação
Isso significa que entre dois estados quaisquer 1 e 2 se tem
Aqui
é a razão dos calores específicos à pressão e a volume (
), número fornecido no enunciado. A fórmula acima nos permite relacionar pressões e volumes sem precisar do número de mols do gás nem de
.
Passo 3
Usando a relação adiabática para encontrar
. Reescrevendo a igualdade para isolar
:
Calculemos a razão de volumes:
Portanto
Agora calcular
. Um jeito confiável sem calculadora é usar logaritmos; aqui farei o cálculo numérico aproximado:
Logo
Arredondando com sentido prático (duas ou três cifras significativas) temos
.
Passo 4
Para a temperatura final usamos outra consequência da combinação da lei dos gases ideais com a lei adiabática. Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale também
que resulta de
combinado com
constante. Assim
Aqui
. Já sabemos
, então
Calculemos
(usando logs como antes):
Portanto
Convertendo para graus Celsius:
Arredondando de forma prática:
.
Passo 5
Resumo do raciocínio em linguagem amiga: como o processo é adiabático usamos
const para achar a nova pressão a partir da redução do volume; para a temperatura usamos a forma equivalente
const. A compressão de
para
(uma compressão por fator 3) aumenta bastante a pressão e a temperatura por causa desses expoentes.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)