Um gás ideal ocupa um volume de 6,0 \mathrm{~L} a uma pressão de 1,5 \mathrm{~atm} e uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é comprimido adiabaticamente até que seu volume seja reduzido para 2,0 \mathrm{~L}. Determine: (i) a pressão final do gás; (ii) a temperatura final do gás. (Dado: \gamma=1,40 )

Passo 1

O enunciado dá os valores iniciais do gás e pede a pressão e a temperatura finais após compressão adiabática. Dados fornecidos:
  • Volume inicial: V_1 = 6,0\\ \mathrm{L}.
  • Pressão inicial: P_1 = 1,5\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}.
  • Volume final: V_2 = 2,0\\ \mathrm{L}.
  • Constante adiabática: \gamma = 1,40.
O que se pede:
(i) a pressão final P_2;
(ii) a temperatura final T_2.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (explicando devagarzinho): num processo adiabático reversível de um gás ideal (isto é, sem troca de calor com o meio), vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Isso significa que entre dois estados quaisquer 1 e 2 se tem
P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2^{\gamma}.
Aqui \gamma é a razão dos calores específicos à pressão e a volume ( \gamma=C_P/C_V), número fornecido no enunciado. A fórmula acima nos permite relacionar pressões e volumes sem precisar do número de mols do gás nem de R.

Passo 3

Usando a relação adiabática para encontrar P_2. Reescrevendo a igualdade para isolar P_2:
P_2 = P_1 \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}.
Calculemos a razão de volumes:
\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{6,0}{2,0}=3.
Portanto
P_2 = 1,5\cdot 3^{1,40}.
Agora calcular 3^{1,40}. Um jeito confiável sem calculadora é usar logaritmos; aqui farei o cálculo numérico aproximado:
\ln 3 \approx 1,0986123,\quad 1,40\cdot \ln 3 \approx 1,5380572,
3^{1,40} = e^{1,5380572}\approx 4,6496.
Logo
P_2 \approx 1,5\cdot 4,6496 \approx 6,9744\\ \mathrm{atm}.
Arredondando com sentido prático (duas ou três cifras significativas) temos P_2\approx 6,97\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Para a temperatura final usamos outra consequência da combinação da lei dos gases ideais com a lei adiabática. Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale também
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
que resulta de P V=n R T combinado com P V^{\gamma}= constante. Assim
T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Aqui \gamma-1 = 1,40-1 = 0,40. Já sabemos \dfrac{V_1}{V_2}=3, então
T_2 = 300\cdot 3^{0,40}.
Calculemos 3^{0,40} (usando logs como antes):
0,40\cdot \ln 3 \approx 0,40\cdot 1,0986123 \approx 0,4394449,
3^{0,40} = e^{0,4394449}\approx 1,5518.
Portanto
T_2 \approx 300\cdot 1,5518 \approx 465,54\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_2 \approx 465,54\\ \mathrm{K} - 273,15 \approx 192,39^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática: T_2\approx 465,5\\ \mathrm{K}\approx 192,4^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Resumo do raciocínio em linguagem amiga: como o processo é adiabático usamos P V^{\gamma}= const para achar a nova pressão a partir da redução do volume; para a temperatura usamos a forma equivalente T V^{\gamma-1}= const. A compressão de 6,0\\ \mathrm{L} para 2,0\\ \mathrm{L} (uma compressão por fator 3) aumenta bastante a pressão e a temperatura por causa desses expoentes.

Resposta

(i) P_2 \approx 6,97\\ \mathrm{atm}
(ii) T_2 \approx 465,5\\ \mathrm{K} \approx 192,4^\circ\mathrm{C}

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