Um fio infinito e retilíneo tem diâmetro e está carregado com densidade volumétrica de carga uniforme. Coaxialmente a esse fio, há uma casca (grossa) cilíndrica de raio interno e externo carregada com densidade uniforme . Determine o campo elétrico em todo o espaço. É bastante fácil se usar a lei de Gauss. Esse conjunto se assemelha a um cabo coaxial de uma linha de transmissão de sinais elétricos.
Passo 1
Beleza, temos um fio infinito e retilíneo de diâmetro (ou seja, raio ) com densidade volumétrica de carga positiva . Coaxialmente a ele, há uma casca cilíndrica de raio interno e externo com densidade uniforme de carga negativa .
O que cai bem aqui é usar a lei de Gauss, porque o problema tem simetria cilíndrica: o campo elétrico só depende da distância radial ao eixo e é sempre radial. Vamos aplicar em cilindros gaussianos de raio genérico e comprimento .
Passo 2
Região interna ao fio: .
A carga contida num cilindro de raio e comprimento é
A lei de Gauss dá
Passo 3
Região entre o fio e a casca: .
Aqui já “pegamos” toda a carga positiva do fio, que vale
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Passo 4
Região dentro da casca carregada (mas fora do fio): .
Agora, além do fio, o cilindro de raio interno até acumula carga negativa . A carga líquida interna é
Aplicando Gauss:
Passo 5
Região externa à casca: Qtot = rho,pi a^2 L ;-; rho,pil(r2^2 - r1^2r)L = rho,pil(a^2 + r1^2 - r2^2r)L .
A carga total interna (fio mais casca completa) é
O campo elétrico E(r) = rho,r2,varepsilon0, & 0 <= r < a,[1em] rho,a^22,varepsilon0,r, & a < r < r1,[1em] rho,l(a^2 + r1^2 - r^2r)2,varepsilon0,r, & r1 < r < r2,[1em] rho,l(a^2 + r1^2 - r2^2r)2,varepsilon0,r, & r > r2, em função de fica: