Um fio infinito e retilíneo tem diâmetro d e está carregado com densidade volumétrica de carga rho uniforme. Coaxialmente a esse fio, há uma casca (grossa) cilíndrica de raio interno r1>d e externo r2 carregada com densidade uniforme -rho. Determine o campo elétrico em todo o espaço. É bastante fácil se usar a lei de Gauss. Esse conjunto se assemelha a um cabo coaxial de uma linha de transmissão de sinais elétricos.

Passo 1

Beleza, temos um fio infinito e retilíneo de diâmetro (ou seja, raio ) com densidade volumétrica de carga positiva . Coaxialmente a ele, há uma casca cilíndrica de raio interno e externo com densidade uniforme de carga negativa .
O que cai bem aqui é usar a lei de Gauss, porque o problema tem simetria cilíndrica: o campo elétrico só depende da distância radial ao eixo e é sempre radial. Vamos aplicar em cilindros gaussianos de raio genérico e comprimento .

Passo 2

Região interna ao fio: Qint = rho cdot (pi r^2 L) .
  1. A carga contida num cilindro de raio E(r),(2pi r L) = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,pi r^2 L2pi r L,varepsilon0 = rho,r2,varepsilon0 e comprimento é
  1. A lei de Gauss dá

Passo 3

Região entre o fio e a casca: Qfio = rho,pi a^2 L .
Aqui já “pegamos” toda a carga positiva do fio, que vale
E(r),(2pi r L) = rho,pi a^2 Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,pi a^2 L2pi r L,varepsilon0 = rho,a^22,varepsilon0,r
Logo

Passo 4

Região dentro da casca carregada (mas fora do fio): Qint = underbracerho,pi a^2 Lfio ;+; underbracel(-rhor),pil(r^2 - r1^2r)L casca até r = rho,pil(a^2 + r1^2 - r^2r)L .
Agora, além do fio, o cilindro de raio interno E(r),(2pi r L) = rho,pi,(a^2 + r1^2 - r^2)Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,(a^2 + r1^2 - r^2)2,varepsilon0,r até acumula carga negativa . A carga líquida interna é
é
Aplicando Gauss:

Passo 5

Região externa à casca: Qtot = rho,pi a^2 L ;-; rho,pil(r2^2 - r1^2r)L = rho,pil(a^2 + r1^2 - r2^2r)L .
A carga total interna (fio mais casca completa) é
E(r),(2pi r L) = rho,pi,(a^2 + r1^2 - r2^2)Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,(a^2 + r1^2 - r2^2)2,varepsilon0,r
Logo, de novo pela lei de Gauss:

Resposta

O campo elétrico E(r) = rho,r2,varepsilon0, & 0 <= r < a,[1em] rho,a^22,varepsilon0,r, & a < r < r1,[1em] rho,l(a^2 + r1^2 - r^2r)2,varepsilon0,r, & r1 < r < r2,[1em] rho,l(a^2 + r1^2 - r2^2r)2,varepsilon0,r, & r > r2, em função de fica:
onde .

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