Um fio longo e retilíneo possui uma distribuição homogênea de carga. O campo elétrico a 2 cm de distância do fio é 20 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. O campo elétrico a 4 cm de distância do fio é
Escolha uma opção:
◯ a. \quad 80 \mathrm{~N} / \mathrm{C}
◯ b. 40 \mathrm{~N} / \mathrm{C}
◯ c. 120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}
◯ d. 5 \mathrm{~N} / \mathrm{C}
◯ e. 10 \mathrm{~N} / \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá uma situação simples e pede um valor. Vou listar claramente o que é conhecido e o que se pede:
  • Dado: o campo elétrico a 2\\ \mathrm{cm} do fio é 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}. Ou seja, E(2\\ \mathrm{cm}) = 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.
  • Pedido: determinar o campo elétrico a 4\\ \mathrm{cm} do mesmo fio. Ou seja, encontrar E(4\\ \mathrm{cm}).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Para entender como variar o campo com a distância precisamos da expressão do campo elétrico de um fio retilíneo muito longo com carga distribuída uniformemente. Essa expressão é obtida a partir da Lei de Gauss, que diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada,
  • Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície fechada,
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
    A ideia prática é escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria: um cilindro coaxial com o fio. Nesse cilindro:
  • o campo é radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície curva lateral,
  • as tampas (as bases) não contribuem para o fluxo porque \mathbf{E} é paralelo às bases (o fluxo pelas tampas é zero).
    Assim o fluxo total pela superfície é o campo constante na lateral multiplicado pela área lateral:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E \cdot (2\pi r L),
onde:
  • r é o raio do cilindro (distância ao fio),
  • L é o comprimento do cilindro (uma parcela arbitrária do fio).
    A carga envolvida é a densidade linear \lambda vezes L:
Q_{\text{enc}} = \lambda L.
Substituindo na Lei de Gauss e resolvendo para E obtemos:
E\cdot(2\pi r L)=\dfrac{\lambda L}{\epsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.

Passo 3

Interpretação da fórmula e o que nos interessa para o problema: da expressão
E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}
vê-se que todos os fatores \lambda, 2\pi e \epsilon_0 são constantes para o fio dado; portanto o campo varia com a distância como E\propto\dfrac{1}{r}. Isso implica que, para duas distâncias r_1 e r_2,
\frac{E(r_2)}{E(r_1)}=\frac{r_1}{r_2},
ou equivalentemente
E(r_2)=E(r_1)\cdot\frac{r_1}{r_2}.
Essa relação é muito prática: basta conhecer E em uma distância e escalar pela razão dos raios.

Passo 4

Aplicando a relação ao nosso caso. Tomamos r_1=2\\ \mathrm{cm} e r_2=4\\ \mathrm{cm}. Para consistência, podemos escrever em metros:
r_1=0,02\\ \mathrm{m},\qquad r_2=0,04\\ \mathrm{m}.
Usando
E(r_2)=E(r_1)\cdot\frac{r_1}{r_2},
temos
E(4\\ \mathrm{cm})=20\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}\cdot\frac{0,02\\ \mathrm{m}}{0,04\\ \mathrm{m}}.
Agora a conta é simples: \dfrac{0,02}{0,04}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Então
E(4\\ \mathrm{cm})=20\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}\times\frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação final do passo anterior sem repetir a linha de resposta isoladamente: dobrando a distância ao fio, o campo elétrico fica pela metade (porque E\propto 1/r). Assim o valor buscado é a metade de 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.

Resposta

e. \quad 10\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}

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