Um fio longo e retilíneo possui uma distribuição homogênea de carga. O campo elétrico a 2 cm de distância do fio é
. O campo elétrico a 4 cm de distância do fio é
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá uma situação simples e pede um valor. Vou listar claramente o que é conhecido e o que se pede:
- Dado: o campo elétrico a
do fio é . Ou seja, . - Pedido: determinar o campo elétrico a
do mesmo fio. Ou seja, encontrar .
Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Para entender como variar o campo com a distância precisamos da expressão do campo elétrico de um fio retilíneo muito longo com carga distribuída uniformemente. Essa expressão é obtida a partir da Lei de Gauss, que diz:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície fechada, -
é a permissividade do vácuo (constante).
A ideia prática é escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria: um cilindro coaxial com o fio. Nesse cilindro: - o campo é radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície curva lateral,
- as tampas (as bases) não contribuem para o fluxo porque
é paralelo às bases (o fluxo pelas tampas é zero).
Assim o fluxo total pela superfície é o campo constante na lateral multiplicado pela área lateral:
onde:
-
é o raio do cilindro (distância ao fio), -
é o comprimento do cilindro (uma parcela arbitrária do fio).
A carga envolvida é a densidade linearvezes :
Substituindo na Lei de Gauss e resolvendo para
obtemos:
Passo 3
Interpretação da fórmula e o que nos interessa para o problema: da expressão
vê-se que todos os fatores
,
e
são constantes para o fio dado; portanto o campo varia com a distância como
. Isso implica que, para duas distâncias
e
,
ou equivalentemente
Essa relação é muito prática: basta conhecer
em uma distância e escalar pela razão dos raios.
Passo 4
Aplicando a relação ao nosso caso. Tomamos
e
. Para consistência, podemos escrever em metros:
Usando
temos
Agora a conta é simples:
. Então
Passo 5
Interpretação final do passo anterior sem repetir a linha de resposta isoladamente: dobrando a distância ao fio, o campo elétrico fica pela metade (porque
). Assim o valor buscado é a metade de
.
Resposta
e. \quad