Uma partícula pontual de carga q é colocada no interior de um cubo, fora do centro. O fluxo do campo elétrico através de uma das faces do cubo
Escolha uma opção:
◯ a. é q / 4 \epsilon_{0}
◯ b. é q / \epsilon_{0}
◯ c. não pode ser calculado usando a Lei de Gauss.
◯ d. é zero
◯ e. q / 6 \epsilon_{0}

Passo 1

O enunciado dá uma partícula pontual de carga q colocada dentro de um cubo, porém fora do centro. A pergunta é: qual é o fluxo do campo elétrico através de uma das faces do cubo?
As opções oferecidas são:
  • (a) \dfrac{q}{4\epsilon_{0}}
  • (b) \dfrac{q}{\epsilon_{0}}
  • (c) não pode ser calculado usando a Lei de Gauss.
  • (d) zero
  • (e) \dfrac{q}{6\epsilon_{0}}

Passo 2

O que é fluxo elétrico e qual fórmula usaremos (parte teórica passo a passo).
  • Fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área de um elemento infinitesimal, direção normal à superfície). Expliquei isso para você visualizar que fluxo mede quantas linhas de campo atravessam a superfície.
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo total através de uma superfície fechada S que envolve a carga q é
\Phi_{\text{total}}=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}},
onde q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume fechado por S. Isso é fundamental e depende só da carga total dentro, não da posição dela.

Passo 3

Aplicando Gauss ao cubo (total):
  • Se aplicarmos a Lei de Gauss ao cubo inteiro (superfície fechada que envolve a carga), obtemos imediatamente que o fluxo total por todas as seis faces é
\Phi_{\text{total}}=\frac{q}{\epsilon_{0}}.
  • Isso é exato independentemente de onde dentro do cubo a carga esteja. Até aqui, tranquilo: Gauss resolve o fluxo total pela superfície fechada.

Passo 4

Distribuição do fluxo entre as faces — quando dá para dividir igualmente?
  • Se a carga estiver exatamente no centro do cubo, há simetria: cada face “vê” a mesma situação, então o fluxo se divide igualmente entre as seis faces. Neste caso particular
\Phi_{\text{cada face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}=\frac{q}{6\epsilon_{0}}.
  • Percebe? Esse resultado \dfrac{q}{6\epsilon_{0}} só é válido graças à simetria perfeita do problema (carga no centro). Se a carga não está no centro, essa igualdade cai por terra.

Passo 5

E quando a carga está fora do centro (o caso do enunciado)? por que Gauss não basta.
  • Sem simetria, as seis faces recebem fluxos diferentes. A Lei de Gauss dá só o total \dfrac{q}{\epsilon_{0}}, mas não informa como esse total se reparte entre as faces.
  • Para calcular o fluxo através de uma face específica quando a carga não está no centro é preciso calcular a contribuição do campo nessa face, ou, de forma mais elegante, usar o ângulo sólido \Omega que a face subtende a partir da posição da carga. Há uma relação geral:
\Phi_{\text{face}}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{\Omega_{\text{face}}}{4\pi},
onde \Omega_{\text{face}} é o ângulo sólido da face visto a partir da carga (medido em estereoradianos).
  • Para obter \Omega_{\text{face}} é preciso conhecer a posição exata da carga dentro do cubo e então fazer uma integração geométrica; não é algo que a Lei de Gauss resolve diretamente sem informação adicional. Em geral \Omega_{\text{face}} depende fortemente da posição da carga dentro do cubo.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se a carga estiver no centro: \Omega_{\text{face}}=\dfrac{4\pi}{6} e então \Phi_{\text{face}}=\dfrac{q}{6\epsilon_{0}}. (Isso corresponde à opção (e), mas só no caso central.)
  • Se a carga estiver muito próxima de uma face, essa face terá \Omega_{\text{face}} maior e, portanto, fluxos bem maiores que \dfrac{q}{6\epsilon_{0}}; faces opostas terão fluxos menores. Ou seja, o valor muda com a posição.

Passo 7

Conclusão lógica e resposta ao enunciado:
  • O enunciado afirma que a carga está dentro do cubo, fora do centro, e pergunta o fluxo através de uma das faces. Como a posição não é mais simétrica, a Lei de Gauss aplicada ao cubo só dá o fluxo total e não o fluxo por face. Para obter o fluxo por essa face é necessário conhecer a posição da carga (ou calcular o ângulo sólido), portanto não é possível calcular o valor numérico pedido apenas com a Lei de Gauss e a informação dada. Logo a alternativa correta é a que diz que não se pode calcular usando apenas a Lei de Gauss.

Resposta

(c)

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