Uma partícula pontual de carga q é colocada no interior de um cubo, fora do centro. O fluxo do campo elétrico através de uma das faces do cubo
Escolha uma opção:
◯ a. é q
◯ b. é
◯ c. não pode ser calculado usando a Lei de Gauss.
◯ d. é zero
◯ e.
◯ a. é q
◯ b. é
◯ c. não pode ser calculado usando a Lei de Gauss.
◯ d. é zero
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula pontual de carga
colocada dentro de um cubo, porém fora do centro. A pergunta é: qual é o fluxo do campo elétrico através de uma das faces do cubo?
As opções oferecidas são:
As opções oferecidas são:
- (a)
- (b)
- (c) não pode ser calculado usando a Lei de Gauss.
- (d) zero
- (e)
Passo 2
O que é fluxo elétrico e qual fórmula usaremos (parte teórica passo a passo).
- Fluxo elétrico através de uma superfície
é definido por
onde
é o campo elétrico e
é o vetor área (módulo igual à área de um elemento infinitesimal, direção normal à superfície). Expliquei isso para você visualizar que fluxo mede quantas linhas de campo atravessam a superfície.
- A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo total através de uma superfície fechada
que envolve a carga é
onde
é a carga total contida no volume fechado por
. Isso é fundamental e depende só da carga total dentro, não da posição dela.
Passo 3
Aplicando Gauss ao cubo (total):
- Se aplicarmos a Lei de Gauss ao cubo inteiro (superfície fechada que envolve a carga), obtemos imediatamente que o fluxo total por todas as seis faces é
- Isso é exato independentemente de onde dentro do cubo a carga esteja. Até aqui, tranquilo: Gauss resolve o fluxo total pela superfície fechada.
Passo 4
Distribuição do fluxo entre as faces — quando dá para dividir igualmente?
- Se a carga estiver exatamente no centro do cubo, há simetria: cada face “vê” a mesma situação, então o fluxo se divide igualmente entre as seis faces. Neste caso particular
- Percebe? Esse resultado
só é válido graças à simetria perfeita do problema (carga no centro). Se a carga não está no centro, essa igualdade cai por terra.
Passo 5
E quando a carga está fora do centro (o caso do enunciado)? por que Gauss não basta.
- Sem simetria, as seis faces recebem fluxos diferentes. A Lei de Gauss dá só o total
, mas não informa como esse total se reparte entre as faces. - Para calcular o fluxo através de uma face específica quando a carga não está no centro é preciso calcular a contribuição do campo nessa face, ou, de forma mais elegante, usar o ângulo sólido
que a face subtende a partir da posição da carga. Há uma relação geral:
onde
é o ângulo sólido da face visto a partir da carga (medido em estereoradianos).
- Para obter
é preciso conhecer a posição exata da carga dentro do cubo e então fazer uma integração geométrica; não é algo que a Lei de Gauss resolve diretamente sem informação adicional. Em geral depende fortemente da posição da carga dentro do cubo.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- Se a carga estiver no centro:
e então . (Isso corresponde à opção (e), mas só no caso central.) - Se a carga estiver muito próxima de uma face, essa face terá
maior e, portanto, fluxos bem maiores que ; faces opostas terão fluxos menores. Ou seja, o valor muda com a posição.
Passo 7
Conclusão lógica e resposta ao enunciado:
- O enunciado afirma que a carga está dentro do cubo, fora do centro, e pergunta o fluxo através de uma das faces. Como a posição não é mais simétrica, a Lei de Gauss aplicada ao cubo só dá o fluxo total e não o fluxo por face. Para obter o fluxo por essa face é necessário conhecer a posição da carga (ou calcular o ângulo sólido), portanto não é possível calcular o valor numérico pedido apenas com a Lei de Gauss e a informação dada. Logo a alternativa correta é a que diz que não se pode calcular usando apenas a Lei de Gauss.
Resposta
(c)