Um hemisfério com 3,5 \mathrm{~cm} de raio contém uma carga total de 6,6 \times 10^{-7} \mathrm{C} .0 fluxo através da parte curva da superfície é 9,8 \times 10^{4} \mathrm{~N} \times \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}. O fluxo através da parte plana é, em unidades \mathrm{N} \times \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}
Escolha uma opção:
◯ a. +2,3 \times 10^{4}
◯ b. 0
◯ C. +9,8 \times 10^{4}
◯ d. -9,8 \times 10^{4}
◯ e. -2,3 \times 10^{4}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um hemisfério de raio 3,5\\ \mathrm{cm} contém carga total Q = 6,6 \times 10^{-7}\\ \mathrm{C}.
  • O fluxo elétrico através da parte curva do hemisfério vale \Phi_{\text{curva}} = 9,8 \times 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
    O que se pede:
  • Determinar o fluxo elétrico através da parte plana (a base circular) do hemisfério, em unidades de \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
    Obs.: o raio não será necessário para os cálculos que vamos fazer, mas foi dado.

Passo 2

Conceito-chave (mini-aula): Lei de Gauss para uma superfície fechada.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo:
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Aqui a superfície fechada é o hemisfério mais a sua face plana (fechando o volume). Portanto
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\text{curva}}+\Phi_{\text{plana}}.
  • Assim, para encontrar \Phi_{\text{plana}} isolamos:
\Phi_{\text{plana}}=\Phi_{\text{total}}-\Phi_{\text{curva}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}-\Phi_{\text{curva}}.
Explicação do sinal: a equação já usa a convenção de fluxo positivo quando o campo sai para fora da superfície. Se a parcela curva for maior que o total exigido por Q/\varepsilon_0, a parcela plana terá sinal negativo para compensar.

Passo 3

Valor numérico de \varepsilon_0 e cálculo de \Phi_{\text{total}}.
  • Usar \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • Calcular
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{6{,}6\times10^{-7}}{8{,}85\times10^{-12}}.
Fazendo a razão separando mantissas e potências de dez:
\frac{6{,}6}{8{,}85}\times10^{(-7)-(-12)}=\frac{6{,}6}{8{,}85}\times10^{5}.
Agora a divisão aproximada:
\frac{6{,}6}{8{,}85}\approx0{,}7458,
portanto
\Phi_{\text{total}}\approx0{,}7458\times10^{5}=7{,}458\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 4

Calcular \Phi_{\text{plana}} subtraindo a parte curva.
\Phi_{\text{plana}}=\Phi_{\text{total}}-\Phi_{\text{curva}}=7{,}458\times10^{4}-9{,}8\times10^{4}.
Efetuando a subtração:
\Phi_{\text{plana}}= -2{,}342\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Arredondando com algarismos compatíveis com os dados (duas casas significativas do dado 9{,}8\times10^{4}):
\Phi_{\text{plana}}\approx -2{,}3\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • O resultado negativo indica que o fluxo através da face plana é dirigido para dentro da superfície (ou seja, linhas de campo entram por ali), o que faz sentido se a parte curva tem fluxo positivo maior que o total requerido por Q/\varepsilon_0.
  • O valor obtido corresponde exatamente à opção (e) das alternativas fornecidas.

Resposta

e. -2{,}3 \times 10^{4}

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