Um fio de 2 metros está carregado uniformemente com uma densidade linear de carga de +1 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Considere este fio no eixo x , entre a origem e \mathrm{x}=2 \mathrm{~m}. A uma distância de 2 metros de sua extremidade, em x=4 \mathrm{~m}, está uma carga pontual de +2 \mu C. Obtenha a coordenada no espaço na qual o campo elétrico é nulo.

Passo 1

O enunciado fornece um fio retilíneo ao longo do eixo x de x=0 a x=2,m, com densidade linear de carga \lambda=+1\mu\mathrm{C}/\mathrm{m}, e uma carga pontual Q=+2\mu\mathrm{C} em x=4,m. Queremos encontrar o ponto ao longo do eixo x onde o campo elétrico resultante é nulo. Para isso vamos calcular separadamente o campo do fio e o da carga pontual e impor a soma vetorial igual a zero.

Passo 2

Para um ponto x tal que x>2, o campo elétrico produzido pelo fio, de forma unidimensional ao longo de x, é
E_{\text{fio}}(x) = k\,\lambda \int_{0}^{2}\frac{dx'}{(x - x')^{2}} = k\,\lambda\Bigl(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\Bigr),
onde k=1/(4\pi\varepsilon_{0}). Nesse intervalo esse campo aponta no sentido positivo de x.

Passo 3

O campo elétrico devido à carga pontual Q em x=4 num ponto x<4 está dado por
E_{Q}(x) = -\,k\,\frac{Q}{(4-x)^{2}},
o sinal negativo indica que, para x<4, a carga positiva empurra a carga de prova no sentido negativo de x.

Passo 4

Para que o campo total seja nulo, impomos
E_{\text{fio}}(x) + E_{Q}(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\,\lambda\Bigl(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\Bigr) - k\,\frac{Q}{(4-x)^{2}}=0.
Cancelando k e substituindo \lambda=1\mu\mathrm{C}/\mathrm{m} e Q=2\mu\mathrm{C}, fica
\lambda\Bigl(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{Q}{(4-x)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x} =\frac{2}{(4-x)^{2}}.

Passo 5

No lado esquerdo fazemos
\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x} =\frac{x - (x-2)}{x(x-2)} =\frac{2}{x(x-2)},
logo a equação torna-se
\frac{2}{x(x-2)}=\frac{2}{(4-x)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x(x-2)}=\frac{1}{(4-x)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=(4-x)^{2}.

Passo 6

Resolvendo
x^{2}-2x=16-8x+x^{2} \quad\Longrightarrow\quad -2x=16-8x \quad\Longrightarrow\quad 6x=16 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\approx2{,}67\text{ m},
que está no intervalo (2,4) onde nossa análise vale.

Resposta

A coordenada na qual o campo elétrico é zero é
x=\frac{8}{3}\,\text{m}\quad\text{(no eixo }x\text{)}.

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