Duas cargas pontuais com q_{1}=2.10^{-5} \mathrm{Ce} q_{2}=-4.10^{-5} são colocados no espaço livre em ( 1,3,-1 ) e ( -3,1,-2 ), respectivamente, em um sistema de coordenadas cartesianas. Determine: (a) o campo elétrico \vec{E} em (3,1,-2) e (b) a força em uma carga de 8.10^{-5} \mathrm{C} localizada no referido ponto. Todas as distâncias estão em metros.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais em vácuo, \displaystyle q_{1}=2\times10^{-5}\,\mathrm{C} em \,(1,3,-1)
e \displaystyle q_{2}=-4\times10^{-5}\,\mathrm{C} em \,(-3,1,-2),
e pede (a) o campo elétrico \vec{E} no ponto \,(3,1,-2) \r
e (b) a força sobre uma carga teste \,q_{3}=8\times10^{-5}\,\mathrm{C} nesse ponto. \r
Para resolver, usamos superposição de campos e a lei de Coulomb vetorial: \r
\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{2} \frac{k\,q_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}\,(\vec{r}-\vec{r}_i),
com k=1/(4\pi\varepsilon_{0})\approx8,99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.

Passo 2

Definimos as posições \vec{r}=(3,1,-2), \vec{r}_{1}=(1,3,-1) e \vec{r}_{2}=(-3,1,-2).
Calculamos os vetores de deslocamento
\vec{d}_{1}=\vec{r}-\vec{r}_{1}=(3-1,\;1-3,\;-2+1)=(2,-2,-1),
\vec{d}_{2}=\vec{r}-\vec{r}_{2}=(3+3,\;1-1,\;-2+2)=(6,0,0).
Seus módulos são \,|\vec{d}_{1}| = \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}}=3 e \,|\vec{d}_{2}| = \sqrt{6^{2}}=6.

Passo 3

Aplicamos a lei de Coulomb para cada carga:
\vec{E}_{1} = \frac{k\,q_{1}}{|\vec{d}_{1}|^{3}}\,\vec{d}_{1} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times2\times10^{-5}}{3^{3}}\,(2,-2,-1) =6{,}66\times10^{3}\;(2,-2,-1)\;\mathrm{N/C},
\vec{E}_{2} = \frac{k\,q_{2}}{|\vec{d}_{2}|^{3}}\,\vec{d}_{2} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times(-4)\times10^{-5}}{6^{3}}\;(6,0,0) =-9{,}99\times10^{3}\;(1,0,0)\;\mathrm{N/C}.
Convertendo multiplicação vetorial: \vec{E}_{1}=(1{,}332\times10^{4},\,-1{,}332\times10^{4},\,-6{,}660)
e \vec{E}_{2}=(-9{,}990,\,0,\,0) em \mathrm{N/C}.

Passo 4

Somamos os dois campos para obter \vec{E}:
\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = (1{,}332\times10^{4} - 9{,}990,\,-1{,}332\times10^{4},\,-6{,}660) \approx (3{,}32\times10^{3},\,-1{,}332\times10^{4},\,-6{,}660)\;\mathrm{N/C}.

Passo 5

A força sobre q_{3}=8\times10^{-5}\,\mathrm{C} é
\vec{F} = q_{3}\,\vec{E} = 8\times10^{-5}\,(3{,}32\times10^{3},\,-1{,}332\times10^{4},\,-6{,}660) \;\mathrm{N},
\vec{F}\approx(0{,}266,\,-1{,}066,\,-0{,}533)\;\mathrm{N}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(3,1,-2)\approx(3{,}32\times10^{3},\,-1{,}332\times10^{4},\,-6{,}660)\;\mathrm{N/C}.
(b) \displaystyle \vec{F}\approx(0{,}266,\,-1{,}066,\,-0{,}533)\;\mathrm{N}.

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