Um fio não uniforme de comprimento L de massa M tem densidade linear de massa mu=k x, onde x é a distância a uma extremidade do fio e k uma constante. (a) Mostre que M=k L^2 / 2.

Passo 1

Então, temos um fio que não é uniforme, ou seja, sua densidade de massa varia ao longo do comprimento. O comprimento total do fio é $ L $ e a massa total é $ M $. A densidade linear de massa é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância desde uma das extremidades do fio e $ k $ é uma constante. Nosso objetivo aqui é mostrar que a massa total $ M $ é igual a $ \frac{kL^2}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de massa. A densidade linear de massa $ \mu $ nos diz quanta massa existe por unidade de comprimento do fio. Nesse caso, $ \mu $ não é constante; ela depende da posição $ x $ ao longo do fio. Isso significa que a massa por unidade de comprimento aumenta à medida que nos afastamos da extremidade onde $ x = 0 $.

Passo 3

Para encontrar a massa total $ M $ do fio, precisamos somar (integrar) todas as pequenas quantidades de massa ao longo do comprimento do fio. Matematicamente, isso é representado pela integral da densidade linear de massa $ \mu(x) $ em relação a $ x $, de 0 até $ L $:
M

Passo 4

Substituindo a expressão de $ \mu(x) $ na integral, temos:
mu(x)
Aqui, $ k $ é uma constante e pode ser colocada fora da integral:
M = integral0^L kx , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{L} x , dx $. A antiderivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
integral0^L x , dx

Passo 6

Voltando à expressão para $ M $:
M

Resposta

Portanto, mostramos que a massa total do fio é $ M = \frac{kL^2}{2} $.

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