Um fio não uniforme de comprimento L de massa
tem densidade linear de massa
, onde
é a distância a uma extremidade do fio e
uma constante. (a) Mostre que
.
Passo 1
Então, temos um fio que não é uniforme, ou seja, sua densidade de massa varia ao longo do comprimento. O comprimento total do fio é $ L $ e a massa total é $ M $. A densidade linear de massa é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância desde uma das extremidades do fio e $ k $ é uma constante. Nosso objetivo aqui é mostrar que a massa total $ M $ é igual a $ \frac{kL^2}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de massa. A densidade linear de massa $ \mu $ nos diz quanta massa existe por unidade de comprimento do fio. Nesse caso, $ \mu $ não é constante; ela depende da posição $ x $ ao longo do fio. Isso significa que a massa por unidade de comprimento aumenta à medida que nos afastamos da extremidade onde $ x = 0 $.
Passo 3
Para encontrar a massa total $ M $ do fio, precisamos somar (integrar) todas as pequenas quantidades de massa ao longo do comprimento do fio. Matematicamente, isso é representado pela integral da densidade linear de massa $ \mu(x) $ em relação a $ x $, de 0 até $ L $:
Passo 4
Substituindo a expressão de $ \mu(x) $ na integral, temos:
Aqui, $ k $ é uma constante e pode ser colocada fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{L} x , dx $. A antiderivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
Passo 6
Voltando à expressão para $ M $:
Resposta
Portanto, mostramos que a massa total do fio é $ M = \frac{kL^2}{2} $.